Problems and Solutions #033

Problem #033

$a+b+c$, $ab+bc+ca$, $abc$가 이 순서대로 등차수열이 되게 하는 양의 정수 순서쌍 $(a,\,b,\,c)$를 모두 구하여라. (단, $1 \leq a \leq b \leq c$.)

일반적으로 실수 $x,\,y,\,z$가 이 순서대로 등차수열을 이루면 $2y=x+z$를 만족한다. 따라서 문제의 조건에 의해,

\[ 2(ab+bc+ca) = a+b+c + abc \tag*{$(\ast)$} \]

위 등식의 양변을 $abc$로 나누어 주고, $\tfrac{1}{a} \geq \tfrac{1}{b} \geq \tfrac{1}{c}$라는 사실을 이용하면 아래의 부등식을 얻는다.

\[ \frac{6}{a} \geq 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + 1. \]

위 부등식의 우변은 $1$보다 크므로 $a<6$임을 알 수 있다. 이제 식 $(\ast)$를 정리하면

\[ (a-2)bc + (1-2a)(b+c) + a = 0 \tag*{$(\ast\ast)$} \]

를 얻는다. 따라서 식 $(\ast\ast)$에 $1 \leq a \leq 5$인 경우를 각각 대입하여 살펴보면,

1. $a=1$인 경우, $-bc -(b+c) + 1 = 0$ 또는 $bc + b + c = 1$를 만족하는 양의 정수 순서쌍 $(b,\,c)$는 존재하지 않는다.
2. $a=2$인 경우, $-3(b+c) + 5 = 0$ 또는 $3(b+c) = 5$를 만족하는 양의 정수 순서쌍 $(b,\,c)$는 존재하지 않는다.
3. $a=3$인 경우, $bc - 5(b+c) + 3 = 0$ 또는 이 식을 정리하여 $(b-5)(c-5) = 22$를 얻는다. 따라서 $(b-5,\, c-5) = (1,\,22)$ 또는 $(2,\,11)$이여야 하고, $(b,\, c) = (6,\,27)$ 또는 $(7,\,16)$이여야 함을 알 수 있다.
4. $a=4$인 경우, $2bc - 7(b+c) + 4 = 0$ 또는 이 식을 정리하여 $(2b-7)(2c-7) = 41$을 얻는다. 따라서 $(2b-7,\, 2c-7) = (1,\, 41)$이고, 이 경우 $(b,\,c) = (4,\, 24)$를 얻는다.
5. $a=5$인 경우, $3bc - 9(b+c) + 5 = 0$ 또는 $3[(b+c) - bc] = 5$를 만족하는 양의 정수 순서쌍 $(b,\,c)$는 존재하지 않는다.

따라서 모든 경우를 고려했을 때, 문제의 조건을 만족하는 양의 정수 순서쌍은

\[ (a,\,b,\,c) = (3,\, 6,\, 27),\; (3,\,7,\,16),\; (4,\,4,\,24) \]

의 세 쌍이 전부임을 알 수 있다.