라비의 판정법(Raabe's test)

비 판정법은 급수의 수렴 여부를 판정하는 매우 강력한 도구 중 하나이다. 비 판정법이란, "주어진 급수 $\sum_n a_n$에 대하여 다음의 극한

\[ \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}} = L \]

에 대하여, $L>1$인 경우 절대 수렴(absolutely convergent)하고 $L<1$인 경우 발산(divergent)한다."를 말한다. 많은 급수의 경우 비 판정법으로 간단히 수렴 여부를 판단할 수 있지만, $L=1$인 경우, 비 판정법으로는 급수의 수렴 여부를 판단할 수 없어, 다른 정교한 판정법들을 이용해야만 한다. 이번 글에서는 여러가지 다양한 판정법들에 대하여 살펴 보고자 한다.

라비의 판정법(Raabe's test)

정리. 라비의 판정법(Raabe's test)

주어진 급수 $\sum_n a_n$에 대하여

\[ \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}} = 1 \quad \text{and} \quad \lim_{n \to \infty} n \left( \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}}- 1 \right) = R \]

이라 하자. 그러면 이 급수는 $R>1$인 경우 절대 수렴(absolutely convergent)하고 $R<1$인 경우 발산(divergent)한다.

위 정리에서 극한이 존재하기 위해서는 반드시 $\lim \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}} = 1$이어야 하므로, 비 판정법(ratio test)로 판정이 불가능한 급수에 대하여, 라비의 판정법을 이용하여 판정이 가능할 수 있음을 알 수 있다.

예제 1. 임의의 실수 $p \in \R$에 대하여, $a_n = \frac{1}{n^p}$로 정의된 급수를 $p$-급수라 한다. $p$-급수에 대하여 비 판정법을 적용하면,

\[ \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim_{n \to \infty} = \frac{n^p}{(n+1)^p} = 1. \]

따라서 비 판정법으로는 급수의 수렴 여부를 판정하는 것이 불가능하다.

이제 위 $p$-급수에 라비의 반정법을 적용해 보자. 우선

\[ \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}} = \frac{(n+1)^p}{n^p} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^p = 1 + \frac{p}{n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \]

라는 사실로부터

\[ \lim_{n \to \infty} n \left( \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}}- 1 \right) = \lim_{n \to \infty} n \left( 1 + \frac{p}{n} + o\left( \frac{1}{n} \right) - 1 \right) = p \]

임을 알 수 있다. 따라서 라비의 판정법에 의해 $p$-급수는 $p>1$인 경우 절대 수렴, $p<1$인 경우 발산함을 알 수 있다.

하지만 이 경우에도 $p=1$일 때의 $p$-급수의 수렴 여부를 판정하는 것이 불가능하다. 실제로 $p=1$인 경우는 조화급수로써 발산하는 급수임이 잘 알려져 있다.

예제 2. 다음 급수의 수렴 여부를 조사하여라.

\[ \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} + \cdots + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)} \]

먼저 이 급수는 비 판정법을 통해서는 급수의 수렴 여부를 판정할 수 없다는 사실을 확인해 두자. 이제,

\begin{align*} \lim_{n \to \infty} n \left( \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}}- 1 \right) &= \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{2n+2}{2n+1} - 1 \right) \\[5pt] &= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} \\[5pt] &= \frac{1}{2} < 1 \end{align*}

따라서 라비의 판정법에 의해 주어진 급수는 발산한다.

더욱 정교한 수렴 판정법들...

만약 라비의 판정법으로도 수렴 여부를 판정할 수 없는 급수의 경우, (즉, $R = 1$인 경우,) 더욱 정교한 수렴 판정법들을 이용하여 수렴 여부를 판정할 수 있다. 먼저 베르트랑의 판정법(Bertrand's test)는 다음과 같다.

정리. 베르트랑의 판정법(Bertrand's test)

주어진 급수 $\sum_n a_n$에 대하여

\[ \lim_{n \to \infty} \ln n \left( n \left( \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}}- 1 \right) - 1 \right) = B \]

라 하자. 그러면 이 급수는 $B>1$인 경우 절대 수렴(absolutely convergent)하고 $B<1$인 경우 발산(divergent)한다.

비 판정법, 라비의 판정법, 그리고 베르트랑의 판정법 모두 쿰머의 판정법(kummer's test)의 특수한 예들인데, 쿰머의 판정법은 다음과 같다.

정리. 쿰머의 판정법(kummer's test)

급수 $\sum_n a_n$가 주어졌다고 하자. 또한 어떤 양항 수열 $(p_n)$에 대하여,

\[ \lim_{n \to \infty} p_n \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}} - p_{n+1} = K \]

라 하자. 그러면 이 급수는 $K>0$인 경우 절대 수렴(absolutely convergent)한다. 또한 $\sum 1/p_n$이 발산하면서 $K<0$인 경우 발산(divergent)한다.

쿰머의 판정법에서 $p_n = 1$, $p_n = 1$, 그리고 $p_n = n \ln n$으로 잡으면 각각 비 판정법, 라비의 판정법, 베르트랑의 판정법을 얻는다. 쿰머의 판정법은 매우 강력한 판정법으로써, 적당한 양항 수열 $(p_n)$을 택하여 쿰머의 판정법을 적용함으로써 언제나 주어진 급수의 수렴 여부를 판정할 수 있음이 알려져 있다.