지뢰찾기(minesweeper) 게임과 수학

written by jjycjn   2017.10.25 03:49

지뢰찾기(minesweeper) 게임란 $m \times n$ 크기의 격자에 주어진 숫자를 바탕으로 각 격자에 숨어 있는 지뢰를 모두 찾는 게임이다. 이 때, 각 격자에 주어지는 숫자는 그 격자에 인접한 8개의 격자에 위치한 지뢰의 개수를 나타낸다. 지뢰찾기 게임에도 다양한 수학적 사실이 숨겨져 있는데, 이번 글에서는 그 중 하나를 살펴보도록 하자.


이제 어떤 $m \times n$ 크기의 지뢰찾기 게임이 주어졌다고 하자. 이 게임에서 지뢰가 숨겨져 있는 모든 격자의 지뢰를 없애고, 반대로 지뢰가 숨겨져 있지 않은 모든 격자에 지뢰를 숨기면 새로운 지뢰찾기 게임을 얻게 된다. 이렇게 얻은 게임을 주어진 지뢰찾기 게임의 쌍대(dual)하고 하자. 예를 들어 아래 두 지뢰찾기 게임은 서로 쌍대 관계이다.



위 두 지뢰찾기 게임에 단서 숫자를 모두 적어보면, 다음을 얻는다.



이제 각 지뢰찾기 게임에 주어진 숫자들의 합을 구해보면 두 지뢰찾기 게임 모두 $109$가 됨을 알 수 있다! 이 관찰이 우연일까? 실제로 어떤 $m \times n$ 크기의 두 쌍대 지뢰찾기 게임을 가져오더라도, 이 두 게임에 주어진 숫자들의 합을 각각 구해보면 서로 같음을 확인할 수 있다. 이에 대한 증명은 언뜻 보기에 매우 복잡해야만 할 것 같지만, 실제로는 매우 간단하게 증명할 수 있다. 아래 정리에 대한 내용은 Antonio Jara del las Heras에 의해 처음 발표 되었다고 한다. (American Mathematical Monthly, v116, n3, p227, 2009)


정리.

$m \times n$ 크기의 두 쌍대 지뢰찾기가 주어졌다고 하자. 그러면 이 두 게임에 주어진 모든 숫자들의 합은 서로 같다.


증명. 위 정리를 증명하기 전에, 먼저 다음의 자명한 사실을 살펴보자: $A$를 유한집합이라고 하고, 이 집합 위에 이항관계 $R$이 주어졌다고 하자. 이제 $B$와 $C$가 $A$의 부분집합이라 하면, 다음 등식이 성립한다.

\[ \sum_{x \in B} \abs{\set{y \in C}{x R y}} = \sum_{y \in C} \abs{\set{x \in B}{x R y}} \tag*{$(\ast)$} \]

이항관계 $R$을 $A \times A$의 부분집합으로 생각하면, 위 등식은 단지 $(B \times C) \cap R$을 서로 다른 두 가지 방법으로 세는 것에 불과하기 때문에 자명하게 등식이 성립함을 알 수 있다.


이제 $(\ast)$을 정리에 적용해 보자. 집합 $A$를 지뢰찾기 게임의 모든 격자들의 집합이라 하고, 두 인접한 격자 $x$와 $y$에 대하여, 이 두 격자 중 오직 하나에만 지뢰가 숨겨져 있으면 $xRy$라 하자. 그러면 자명하게 $R$은 $A$ 위의 이항관계가 된다. 


이제 $A$의 부분집합 $B$와 $C$를 각각 지뢰가 숨겨져 있는 모든 격자들의 집합, 지뢰가 숨겨져 있지 않은 모든 격자들의 집합으로 각각 정의하면, $(\ast)$에 의해 정리가 성립함을 알 수 있다.


아래 그림은 두 쌍대 지뢰찾기 게임에서 이항관계에 있는 모든 인접한 두 격자를 붉은 선으로 연결한 것이다.



위 그림을 보면 알 수 있듯이 두 쌍대 지뢰찾기 게임에 표시된 붉은 선들이 모두 같음을 알 수 있다. 또한 증명을 보면 알 수 있듯이 이 정리는 어떠한 모양의 지뢰찾기 게임 (예를 들어, 삼각형 또는 육각형 모양의 지뢰찾기 게임) 에도 성립함을 알 수 있다. 나아가 $m \times n$ 크기의 지뢰찾기 게임의 마주보는 변을 연결하여 만든 도넛 모양의 지뢰찾기 게임을 고려하더라도 여전히 이 정리가 성립한다. 

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