일반화된 다항식의 나머지 정리(generalized polynomial remainder theorem)

다항식의 나눗셈 정리_{(polynomial division theorem)}에 의하면 다음 사실이 성립한다: 서로 다른 두 다항식 $f$, $g$에 대하여 아래 다항식을 만족하는 두 다항식 $q$와 $r$이 유일하게 존재한다.

\[ f(x) = g(x)q(x) + r(x), \quad (\deg(r) < \deg(g)) \]

이제 $g(x)$가 일차식이라 가정해 보자. 그러면 다음과 같은 방법으로 나머지 $r(x)$을 간단히 구할 수 있다: 먼저 일반성을 잃지 않고 $g(x) = k(x-a)$와 같이 나타내자. 또한 $\deg(g)=1$이므로 $\deg(r)=0$이어야만 하고 따라서 $r(x) = c$로 나타낼 수 있다. 그러면 위 나눗셈 정리를 다음과 같이 정리 된다.

\[ f(x) = k(x-a)q(x) + c \]

이제 위 식에 $x=a$를 대입하면 $f(a)=c$를 얻고 결과적으로 $r(x) = f(a)$임을 알 수 있다. 이와 같이 다항식 $f$를 일차식 $g$로 나누는 경우, 다항식의 나눗셈을 직접 계산 하지 않고 간단한 대입만으로 나머지 $r$을 구할 수 있는데, 이 과정을 다항식의 나머지 정리_{(polynomial remainder theorem)}라 부르기도 한다.

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이제 다항식 $f$를 $n$차식 $g$로 나누었을 때의 나머지 $r$에 대해 생각해 보자. 먼저 $\deg(f) < \deg(g)$인 경우, $r(x) = f(x)$이므로 $\deg(f) \geq \deg(g)$인 경우만 고려해도 충분하다. 이 경우, 다음 정리가 성립한다.

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정리. 일반화된 다항식의 나머지 정리_{(generalized polynomial remainder theorem)}

$n$차 다항식 $g$에 대하여, $g(x) = 0$은 중근을 가지지 않는다고 하고 서로 다른 $n$개의 근을 각각 $a_1,\, \ldots,\, a_n$로 나타내자. 이제 $n$차 이상의 다항식 $f$를 $g$로 나눈 나머지를 $r$이라 할 때, 다음 식이 성립한다.

\[ r(x) = \begin{bmatrix} x^{n-1} & \cdots & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1^{n-1} & \cdots & a_1 & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_n^{n-1} & \cdots & a_n & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f(a_1) \\ \vdots \\ f(a_n) \end{bmatrix} \]

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증명. 다항식의 나눗셈 정리에 의해서 적당한 다항식 $q(x)$가 존재하여 $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$가 성립한다. 여기서 $g(x)=0$의 $n$개의 서로 다른 근 $a_1,\, \ldots,\, a_n$이 존재하므로,

\[ g(x) = k(x-a_1)(x-a_2) \cdots (x-a_n) \]

이 성립한다. 또한 $r(x)$는 $n-1$차 이하의 다항식이므로

\[ r(x) = c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_1x + c_0 \]

으로 나타낼 수 있다. 그러므로

\[ f(x) = k(x-a_1)(x-a_2) \cdots (x-a_n)q(x) + c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_1x + c_0 \]

이 성립한다. 이제 위 식에 $x$에 $a_1,\, \ldots,\, a_n$를 차례로 대입하면, 연립방정식

\[ \left\{ \begin{align*} f(a_1) &= c_{n-1}a_1^{n-1} + \cdots + c_1a_1 + c_0 \\[5px] f(a_2) &= c_{n-1}a_2^{n-1} + \cdots + c_1a_2 + c_0 \\[5px] \vdots \quad &= \quad \vdots \\[5px] f(a_n) &= c_{n-1}a_n^{n-1} + \cdots + c_1a_n + c_0 \end{align*} \right. \]

을 얻는다. 이 연립방정식은 행렬을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[ \begin{bmatrix} f(a_1) \\ \vdots \\ f(a_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1^{n-1} & \cdots & a_1 & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_n^{n-1} & \cdots & a_n & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{n-1} \\ \vdots \\ c_0 \end{bmatrix} \]

이 때, 위 식 우변의 $n \times n$ 행렬은 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)로써, 모든 $i \neq j$에 대하여 $a_i \neq a_j$인 경우 행렬식이 $0$이 아님이 알려져 있다. 따라서 위 행렬의 역행렬이 존재하고

\[ \begin{bmatrix} c_{n-1} \\ \vdots \\ c_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1^{n-1} & \cdots & a_1 & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_n^{n-1} & \cdots & a_n & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f(a_1) \\ \vdots \\ f(a_n) \end{bmatrix} \]

와 같이 나타낼 수 있다. 그러므로

\[ \begin{align*} r(x) &= \begin{bmatrix} x^{n-1} & \cdots & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{n-1} \\ \vdots \\ c_0 \end{bmatrix} \\[5px] &= \begin{bmatrix} x^{n-1} & \cdots & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1^{n-1} & \cdots & a_1 & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_n^{n-1} & \cdots & a_n & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f(a_1) \\ \vdots \\ f(a_n) \end{bmatrix} \end{align*} \]

가 성립한다.

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참고. 위 정리는 다항식 $g$가 중근을 갖는 경우에는 직접적인 적용이 불가능하다. 하지만 이 경우에도 일반화된 다항식의 나머지 정리의 증명 과정을 응용하면, 여전히 나머지 $r$을 직접적인 나눗셈을 거치지 않고 구할 수 있다. 예를 들어 $g$가 이차식 $g(x) = k(x-a)^2$으로 주어진 경우를 생각해 보자. 이 경우, $r(x) = c_1x + c_0$와 같이 나타낼 수 있고

\[ f(x) = k(x-a)^2q(x) + c_1x + c_0 \]

를 얻는다. 이제 위 식의 양변을 미분하면 또 다른 등식

\[ f'(x) = 2k(x-a)q(x) + k(x-a)^2q'(x) + c_1 \]

을 얻는다. 따라서 위 두 등식에 $x=a$를 각각 대입하면

\[ \left\{ \begin{align*} f(a) &= c_1a + c_0 \\[5px] f'(a) &= c_1 \end{align*} \right. \quad \implies \quad \begin{bmatrix} f(a) \\[3px] f'(a) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 1 \\[3px] 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\[3px] c_0 \end{bmatrix} \]

따라서

\[ \begin{bmatrix} c_1 \\[3px] c_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 1 \\[3px] 1 & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f(a) \\[3px] f'(a) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\[3px] 1 & -a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(a) \\[3px] f'(a) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f'(a) \\[3px] f(a) - af'(a) \end{bmatrix} \]

위와 같은 방법으로 다항식 $g$가 중근을 갖는 경우에도 나머지 $r$을 구할 수 있음을 알 수 있다. 또한 이 방법을 응용하면 좀 더 복잡한 형태를 가지는 다항식 $g$에 대해서도 나머지 $r$을 구하는 것이 가능하다.