벡터공간(vector space)의 또 다른 예

실벡터공간 (real vector space)이란, 주어진 공간의 (벡터 (vector)라고 불리는) 임의의 원소들의 합과 임의의 원소의 실수배에 대하여 닫혀있는 공간을 말한다. 다시 말해 마음대로 두 원소를 더하거나 주어진 원소를 임의의 실수배 만큼 자유롭게 늘이거나 줄이는 것이 가능한 공간이다. 이 벡터 공간에 대한 재미있는 예가 있어서

^[각주:1] 이번에 소개해 보려고 한다.

실벡터공간 (vector space)의 정의와 예

먼저 실벡터공간에 대한 수학적인 정의에 대해서 살펴보자.

정의. 실벡터공간 (real vector space) $(V,+,\cdot )$이란

^[각주:2] 집합 $V$와 함께 벡터합 (vector addition)이라 불리는 연산 $+:V\times V\to V$ by $(x,y)\mapsto x+y$와 스칼라곱 (scalar multiplication)이라 불리는 연산 $\cdot :\mathbb{R}\times V\to V$ by $(\lambda ,x)\mapsto \lambda x$이 정의 되어 아래의 8가지 공리를 만족하는 공간을 말한다.

• 모든 $x,y,z\in V$에 대하여, $(x+y)+z=x+(y+z)$.

• 모든 $x,y\in V$에 대하여, $x+y=y+x$.

• 임의의 $x\in V$에 대하여 $x+e=e+x=x$를 만족하는 원소 $e\in V$가 존재한다.

• 임의의 $x\in V$에 대하여 $-x\in V$가 존재하여, $x+(-x)=(-x)+x=e$를 만족한다.

• 모든 $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$과 $x\in V$에 대하여, $\lambda (\mu x)=(\lambda \mu )x$.

• 모든 $x\in V$에 대하여, $1x=x$.

• 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$과 $x,y\in V$에 대하여, $\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y$.

• 모든 $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$과 $x\in V$에 대하여, $(\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x$.

고등학교 범위에서 생각해 볼 만한 간단한 실벡터공간의 예는 아래와 같은 것들이 있다.

1. 3차원 벡터 공간 ${\mathbb{R}}^3$: 3차원 벡터 $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ 와 $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$에 대하여
   

   $$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3),\lambda \overrightarrow{u}=(\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3).$$
   으로 연산을 정의하면 $({\mathbb{R}}^3,+,\cdot )$는 실벡터공간이 된다. 사실 실벡터공간이 $({\mathbb{R}}^3,+,\cdot )$에서 성립하는 여러가지 성질들을 공리화하여 정의된 것 이므로, 실벡터공간을 실'벡터'공간이라 하는 이유도 여기에 있다.
   
   

2. 모든 $2\times 2$ 실행렬 (real matrix)들의 집합 $M_2$: 두 행렬 $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$와 $B=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$에 대하여, 두연산을 아래와 같이 정의하자.
   

   $$A+B=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}\end{array}\right),\lambda A=\left(\begin{array}{cc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}\end{array}\right).$$
   그러면 $(M_2,+,\cdot )$는 실벡터공간의 모든 공리를 만족한다.
   
   

3. 모든 실함수 (real-valued function)들의 집합 $F$. 두 함수 $f(t)$ 와 $g(t)$에 대하여,
   

   $$(f+g)(t)=f(t)+g(t),(\lambda f)(t)=\lambda f(t)$$
   와 같이 연산을 정의하면, $(F,+,\cdot )$는 실벡터공간이 된다.

실벡터공간에 대한 또 다른 예

위와 같이 이미 우리가 알고 있는 많은 수학적 대상들이 사실은 실벡터공간을 이루고 있음을 알 수 있다. 하지만, 이번에는 이미 주어진 실벡터공간 $(V,+,\cdot )$에 대하여 두 연산 $\oplus$와 $\odot$를 새롭게 정의하여, 이렇게 새롭에 정의된 $(V,\oplus ,\odot )$또한 실벡터공간이 됨을 보이려고 한다. 

먼저 두 연산을 아래와 같이 정의하자: 임의의 $x,y\in V$와 $\lambda \in \mathbb{R}$에 대하여,

$$x\oplus y:=x+y+2,\lambda \odot x:=\lambda x+2\lambda -2.$$

이제 $(V,\oplus ,\odot )$이 실벡터공간임을 증명하기 위해서 이 두개의 연산들이 8개의 공리를 만족하는지를 보여야 한다. 지금부터 하나씩 확인해 보도록 하자.

• 모든 $x,y,z\in V$에 대하여, $(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)$.
  증명. 모든 $x,y,z\in V$에 대하여, 
  

  $$\begin{array}{rl}(x\oplus y)\oplus z& =(x+y+2)\oplus z\\ & =(x+y+2)+z+2\\ & =x+y+z+4,\\ x\oplus (y\oplus z)& =x\oplus (y+z+2)\\ & =x+(y+z+2)+2\\ & =x+y+z+4.\end{array}$$

• 모든 $x,y\in V$에 대하여, $x\oplus y=y\oplus x$.
  증명. 모든 $x,y\in V$에 대하여,
  

  $$x\oplus y=x+y+2=y+x+2=y\oplus x.$$

• 임의의 $x\in V$에 대하여 $x\oplus e=e\oplus x=x$를 만족하는 원소 $e\in V$가 존재한다.
  증명. 우리는 다음의 식 

  $$x\oplus e=e\oplus x=x+e+2=x.$$ 
  를 만족하는 $e\in V$를 찾아야 한다. 하지만 위 식으로부터 $e=-2$임을 간단히 알 수 있다.

• 임의의 $x\in V$에 대하여 $-x\in V$가 존재하여, $x\oplus (-x)=(-x)\oplus x=e$를 만족한다.
  증명. 임의의 $x\in V$에 대하여, 아래의 식 

  $$x\oplus x^{\prime }=x^{\prime }\oplus x=x+x^{\prime }+2=-2=e$$ 
  를 만족하는 $x^{\prime }\in V$를 찾아야 한다. 따라서 $x^{\prime }=-x-4$임을 알 수 있다.

• 모든 $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$과 $x\in V$에 대하여, $\lambda \odot (\mu \odot x)=(\lambda \mu )\odot x$.
  증명. 모든 $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$과 $x\in V$에 대하여,
  

  $$\begin{array}{rl}\lambda \odot (\mu \odot x)& =\lambda \odot (\mu x+2\mu -2)\\ & =\lambda (\mu x+2\mu -2)+2\lambda -2\\ & =\lambda \mu x+2\lambda \mu -2,\\ (\lambda \mu )\odot x& =\lambda \mu x+2\lambda \mu -2.\end{array}$$

• 모든 $x\in V$에 대하여, $1\odot x=x$.
  증명. 모든 $x\in V$에 대하여,
  

  $$1\odot x=x=1x+(2)(1)-2=x.$$

• 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$과 $x,y\in V$에 대하여, $\lambda \odot (x\oplus y)=(\lambda \odot x)\oplus (\lambda \odot y)$.
  증명. 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$과 $x,y\in V$에 대하여,
  

  $$\begin{array}{rl}\lambda \odot (x\oplus y)& =\lambda \odot (x+y+2)\\ & =\lambda (x+y+2)+2\lambda -2\\ & =\lambda x+\lambda y+4\lambda -2,\\ (\lambda \odot x)\oplus (\lambda \odot y)& =(\lambda x+2\lambda -2)\oplus (\lambda y+2\lambda -2)\\ & =(\lambda x+2\lambda -2)+(\lambda y+2\lambda -2)+2\\ & =\lambda x+\lambda y+4\lambda -2.\end{array}$$

• 모든 $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$과 $x\in V$에 대하여, $(\lambda +\mu )\odot x=(\lambda \odot x)\oplus (\mu \odot x)$.
  증명. 모든 $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$과 $x\in V$에 대하여,
  

  $$\begin{array}{rl}(\lambda +\mu )\odot x& =(\lambda +\mu )x+2(\lambda +\mu )-2\\ & =\lambda x+\lambda x+2\lambda +2\mu -2,\\ (\lambda \odot x)\oplus (\mu \odot x)& =(\lambda x+2\lambda -2)\oplus (\mu x+2\mu -2)\\ & =(\lambda x+2\lambda -2)+(\mu x+2\mu -2)+2\\ & =\lambda x+\mu x+2\lambda +2\mu -2.\end{array}$$

따라서 $(V,\oplus ,\odot )$는 실벡터공간이 되기 위한 모든 공리를 만족하므로, 실벡터공간임을 알 수 있다.

1. http://math.stackexchange.com/ [본문으로]
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space [본문으로]