피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 역코탄젠트(arccotangent) 함수

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열

\[ F_{0} = 0,\, F_{1} = 1,\, F_{n+1} = F_{n} + F_{n-1} \, (n \geq 1) \]

을 피보나치 수열(Fibonacci sequence)이라 한다. 이번 글에서는 카시니 항등식을 이용한 피보나치 수열과 역코탄젠트 (또는 역탄젠트) 함수 사이의 관계에 대해서 알아보도록 하자.

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정리. 카시니 항등식(Cassini's identity)

임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여 다음 항등식이 성립한다.

\[ F_{n+1}F_{n-1} - F_{n}^{2} = (-1)^{n} \]

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증명. 카시니 항등식을 증명하기 전에 귀납법을 이용하여 다음 항등식을 먼저 증명하도록 하자.

\[ \begin{bmatrix} F_{n + 1} & F_n \\ F_n & F_{n - 1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_{2} & F_{1} \\ F_{1} & F_{0} \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n \tag*{$(\ast)$} \]

먼저 $n=1$일 때, 식 $(\ast)$이 성립함은 자명하므로, $n=k$일 때도 식이 성립한다고 가정해 보자. 그러면

\[ \begin{align*} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{k+1} &= \begin{bmatrix} F_{k + 1} & F_k \\ F_k & F_{k - 1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\[5px] &= \begin{bmatrix} F_{k + 1} + F_k & F_{k + 1} \\ F_k + F_{k - 1} & F_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_{k + 2} & F_{k + 1} \\ F_{k + 1} & F_k \end{bmatrix} \end{align*} \]

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $n \in \N$에 대하여, 식 $(\ast)$이 성립함을 알 수 있다.

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그러므로, 행렬식(determinant)의 성질에 의해

\[ F_{n+1}F_{n-1} - F_{n}^{2} = \det \begin{bmatrix} F_{n + 1} & F_n \\ F_n & F_{n - 1} \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n = (-1)^{n} \]

를 얻는다.

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정리.

임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여 다음 항등식이 성립한다.

\[ \cot^{-1}(F_{2n}) = \cot^{-1}(F_{2n+1}) + \cot^{-1}(F_{2n+2}) \]

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증명. 우선 적당한 실수 $a,\,b,\,c \in \R$에 대하여 다음 식이 성립한다고 가정하자.

\[ \cot^{-1}(c) = \cot^{-1}(a) + \cot^{-1}(b) \]

위 식을 코탄젠트의 덧셈법칙을 이용하여 정리하면,

\[ \begin{align*} c &= \cot \big( \cot^{-1}(a) + \cot^{-1}(b) \big) \\[5px] &= \frac{\cot(\cot^{-1}(a)) \cdot \cot(\cot^{-1}(b)) - 1}{\cot(\cot^{-1}(a)) + \cot(\cot^{-1}(b))} = \frac{ab - 1}{a + b} \end{align*} \]

가 성립한다. 따라서

\[ \cot^{-1}(c) = \cot^{-1}(a) + \cot^{-1}(b) \iff c = \frac{ab - 1}{a + b} \tag*{$(\ast\ast)$} \]

라는 사실을 알 수 있다. 이제 $a = F_{2n+1}$, $b = F_{2n+2}$, $c = F_{2n}$라 두고 이 세 변수가 식 $(\ast\ast)$의 우변을 만족함을 보이자. 먼저 피보나치 수열의 성질에 의해 $b = a + c$가 성립하고, 키시니 항등식을 적용하면 $a^2 = bc + 1$임을 알 수 있다. 이 두 식을 정리하면

\[ c(a + b) = (b - a)(a + b) = b^2 - a^2 = b^2 - bc - 1 = b(b - c) - 1 = ab - 1 \]

따라서 $c(a + b) = ab - 1$이 성립함을 어렵지 않게 확인할 수 있다. 그러므로 식 $(\ast\ast)$에 의해 우리가 원하는 항등식을 얻는다..

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탄젠트와 코탄젠트 사이의 관계식을 이용하면, 위 정리의 식을 역탄젠트 함수를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

\[ \tan^{-1}\left(\frac{1}{F_{2n}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{F_{2n+1}}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{F_{2n+2}}\right) \]

한 편, 위 정리에서 $n=1$인 경우를 생각해 보면 유사 마친 공식(Machin-like Formula) 중 하나의 형태인 다음의 따름 정리를 얻는다.[note]이 공식은 오일러(Euler)가 최초로 발견했다고 알려져 있다.[/note] 실제로 컴퓨터를 이용해 계산해 보면 \[ 4 \cdot (\cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3)) = 3.141592653589793\ldots \] 이 되어 원주율이 됨을 확인할 수 있다.

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따름정리.

\[ \frac{\pi}{4} = \cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3) \]

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증명. 앞서 설명했듯이 위의 정리에 $n=1$을 대입하면 따름정리를 얻을 수 있다. 여기서는 따름정리를 아래 그림을 이용하여 직접 증명해 보도록 하자.

 

위 그림에서 $\angle AFG = \cot^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$, $\angle EBD = \cot^{-1}(2)$, $\angle EAD = \cot^{-1}(3)$이다. 한 편, 삼각형 $EBD$와 삼각형 $EAH$는 서로 닮음이므로, $\angle EAH = \angle EBD = \cot^{-1}(2)$가 성립함을 알 수 있다. 그러므로 \[ \frac{\pi}{4} = \angle AFG = \angle EAH + \angle EAD = \cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3) \] 가 성립한다..