이번 글에서는 다음과 같이 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수들
의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 알아볼 것이다. 이를 위해서 먼저 다음의 정의가 필요하다.
위 정의 자체는 복잡해 보이지만,
다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값
논의를 진행하기에 앞서,
증명. 등식
을 얻는다. 따라서
이 성립하므로,
을 얻는다. 여기서
이제 위 식의 양변을
따라서 수학적 귀납법에 의해 정리가 성립한다.
정리의 활용
이제 몇 가지 예제를 통해서 위 정리를 어떻게 이용할 수 있는지 확인해 보자. 예제 1. 다음 무한급수
를 얻는다. 이 급수에 대한 또 다른 재미있는 사실은 다음글 "두 무한급수의 합"에서 확인할 수 있다. 예제 2. 다음 무한급수
를 얻는다. (실제 계산에서는
를 얻는다. 예제 3. 다음 무한급수
를 얻는다. 따라서 위 정리에 의해
임을 알 수 있다. 예제 4.위 예제와 동일한 무한급수
이므로
를 얻는다. 그러므로
으로 동일한 결과를 얻는다. 다음과 같은 형태의 무한급수
의 값은 모두 정수이다. (실제로 계산해 보면, 각각
증명. 위 정리에서
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