다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값

written by jjycjn   2020. 1. 8. 10:45

이번 글에서는 다음과 같이 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수들

n=0n2n,n=0n23n+24n+1,n=1(n2)3(3)n,

의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 알아볼 것이다. 이를 위해서 먼저 다음의 정의가 필요하다.

 

정의. 주어진 다항식 p(x)와 음이 아닌 자연수 k0에 대하여, Δ(p;k,x)를 다음과 같이 정의한다.
Δ(p;0,x)=p(x),xRΔ(p;k,x)=Δ(p;k1,x+1)Δ(p;k1,x)kN,xR
또한 표기상 혼동이 없을때에는 Δ(p;k,x) 대신에 간단히 Δ(k,x)를 쓰기로 한다.

 

위 정의 자체는 복잡해 보이지만, x=0,1,2,인 경우에 한정해서 보면, 수열 (p(0),p(1),p(2),)의 계차수열들을 반복적으로 구해 나가는 것을 수학적으로 표현한 것에 불과하다. 아래 그림을 보면 Δ(k,x)의 정의가 더 직관적으로 와닿을 것이다.

 

 

다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값

논의를 진행하기에 앞서, Δ(k,x)의 성질을 먼저 알아보자.

 

보조정리. d차 다항함수 p(x)에 대하여, 다음 사실들이 성립한다.
  1. 0kd에 대하여, Δ(k,x)dk차 다항함수이다.
  2. 특히, Δ(d,x)은 상수함수이고 kd+1인 경우, Δ(k,x)=0이다.
  3. q(x):=Δ(p;k,x)라 하자. 그러면, Δ(q;1,x)=Δ(p;k+1,x)가 성립한다.

 

정리.d차 다항함수 p(x)|a|>1을 만족하는 실수 aR에 대하여, 다음 등식이 성립한다.
()S:=n=0p(n)an+1=k=0dΔ(k,0)(a1)k+1

증명. 등식 ()p(x)의 차수에 대한 수학적 귀납법으로 증명을 할 것이다. 우선 d=0인 경우, p(x)=a0라고 둘 수 있고, 이 경우 Δ(0,0)=a0이므로

n=0p(n)an+1=a0n=01an+1=a01a11a=a0a1k=00Δ(k,0)(a1)k+1=Δ(0,0)a1=a0a1

을 얻는다. 따라서 d=0인 경우 등식 ()이 성립한다. 이제 등식 ()p(x)의 차수가 d1일 때 성립한다고 가정하자. 이제 차수가 dp(x)에 대하여

aS=n=0p(n)an=n=1p(n+1)an+1=p(0)+n=0p(n+1)an+1

이 성립하므로,

(a1)S=p(0)+n=0p(n+1)p(n)an+1=Δ(0,0)+n=0Δ(1,n)an+1

을 얻는다. 여기서 q(x):=Δ(1,x)라고 두면, q(x)보조정리에 의하여 차수가 d1인 다항함수이고, Δ(q;k,x)=Δ(p;k+1,x)이 성립한다. 따라서 귀납법 가정에 의해

(a1)S=Δ(0,0)+n=0Δ(1,n)an+1=Δ(0,0)+k=0d1Δ(k+1,0)(a1)k+1

이제 위 식의 양변을 (a1)로 나누어 주면,

S=Δ(0,0)a1+k=0d1Δ(k+1,0)(a1)k+2=Δ(0,0)a1+k=1dΔ(k,0)(a1)k+1=k=0dΔ(k,0)(a1)k+1

따라서 수학적 귀납법에 의해 정리가 성립한다.

 

 

정리의 활용

이제 몇 가지 예제를 통해서 위 정리를 어떻게 이용할 수 있는지 확인해 보자. 예제 1. 다음 무한급수 n=0n2n의 값을 구해보자. 우선 p(x)=x로 두면 p(x)d=1차 다항함수이므로, Δ(0,0)Δ(1,0)의 값만 알면 충분하다. 실제로 간단한 계산을 통해 

 

Δ(0,1)=Δ(1,1)=1을 얻는다. (위 그림에서 알 수 있듯이 오직 p(0),p(1)의 값만 구하면, 필요한 모든 Δ(k,0)의 값을 구할 수 있다.) 이를 위 정리에 적용하면

n=0n2n=2n=0n2n+1=k=01Δ(k,0)(21)k+1=2(Δ(0,0)21+Δ(1,0)(21)2)=2(0+1)=2

를 얻는다. 이 급수에 대한 또 다른 재미있는 사실은 다음글 "두 무한급수의 합"에서 확인할 수 있다. 예제 2. 다음 무한급수 n=0n23n+24n+1의 값을 구해보자. 우선 p(x)=x23x+2d=2차 다항함수이고,

 

를 얻는다. (실제 계산에서는 p(0),p(1),p(2)의 값만 있으면 충분하다.) 따라서 이를 위 정리에 적용하면

n=0n23n+24n+1=Δ(0,0)41+Δ(1,0)(41)2+Δ(2,0)(41)3=23+29+227=1427

를 얻는다. 예제 3. 다음 무한급수 n=1(n2)3(3)n의 값을 구해보자. p(x)=(x2)3으로 두면 p(x)의 차수는 d=3이고,

 

를 얻는다. 따라서 위 정리에 의해

n=1(n2)3(3)n=83n=0(n2)3(3)n+1=83(Δ(0,0)31+Δ(1,0)(31)2+Δ(2,0)(31)3+Δ(3,0)(31)3)=83(84+716+664+6256)=43128

임을 알 수 있다. 예제 4.위 예제와 동일한 무한급수 n=1(n2)3(3)n의 값을 다른 방법으로 구해보자. 먼저 n=m+1로 치환하면,

n=1(n2)3(3)n=m=0(n1)3(3)m+1

이므로 d=3차 다항식 p(x)=(x1)3을 정의하고 필요한 Δ(k,0)의 값을 구하면 

 

를 얻는다. 그러므로

m=0(n1)3(3)m+1=Δ(0,0)31+Δ(1,0)(31)2+Δ(2,0)(31)3+Δ(3,0)(31)3=14+116+064+6256=43128

으로 동일한 결과를 얻는다. 다음과 같은 형태의 무한급수

n=0n2n,n=12n+12n,n=1n242n+1,n=0n2+n+12n+1

의 값은 모두 정수이다. (실제로 계산해 보면, 각각 2,5,1,5가 나옴을 확인할 수 있다.) 이러한 사실은 성립한다는 사실은 위 정리로부터 쉽게 알 수 있는데, 이는 다음 따름정리에서 확인해 보자.

 

따름정리. p(x)d차 정수계수 다항함수라 하자. 그러면 다음 무한급수
n=0p(n)2n+1
의 합은 언제나 정수이다.

증명. 위 정리에서 a=2인 경우이므로,

n=0p(n)2n+1=k=0dΔ(k,0)(21)k+1=k=0dΔ(k,0)

p(x)가 정수계수만을 가지므로, 모든 n에 대하여 p(n) 또한 정수이고, 따라서 Δ(k,0) 또한 정수임을 알 수 있다. 즉, 위 식의 우변은 정수 Δ(k,0)들의 유한합이므로 정수가 된다.

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