산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질

미분 가능한 함수 $f,g$에 대하여 곱의 미분법(product rule)은 다음과 같다.

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$$

함수가 아닌 양의 정수에 대해서도 위와 유사하게 곱의 미분법을 만족하는 연산자를 정의할 수 있는데, 이것이 앞으로 살펴 볼 산술 도함수이다.

산술 도함수(arithmetic derivative)의 정의와 기본 성질

임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $n$의 산술 도함수(arithemetic derivative)를 다음과 같이 정의한다. 아래 정의에서 (2)는 산술 도함수가 일반적인 도함수의 곱의 미분법을 만족해야 함을 보여준다.

정의 1. 산술 도함수(arithemetic derivative)

산술 도함수 $(\cdot {)}^{\prime }:\mathbb{N}\to {\mathbb{N}}_0$은 다음 성질을 만족하는 함수이다.

1. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p^{\prime }=1$.
2. 임의의 양의 정수 $m,n$에 대하여, $(mn{)}^{\prime }=m^{\prime }\cdot n+m\cdot n^{\prime }$.

참고. 산술 도함수는 정의에 의해 일반적인 도함수의 '곱의 미분법'은 만족하지만, '합의 미분법', $(m+n{)}^{\prime }=m^{\prime }+n^{\prime }$은 만족하지 않는다. 예를 들어,

$$(2+3{)}^{\prime }=5^{\prime }=1\ne 2=1+1=2^{\prime }+3^{\prime }$$

이므로 $(2+3{)}^{\prime }\ne 2^{\prime }+3^{\prime }$임을 간단히 확인해 볼 수 있다.

위 정의를 이용하여 $1^{\prime }$의 값을 구해보자. 우선 $1=1\cdot 1$로 나타낼 수 있으므로,

$$1^{\prime }=(1\cdot 1{)}^{\prime }=1^{\prime }\cdot 1+1\cdot 1^{\prime }=2\cdot 1^{\prime }$$

이 성립해야만 한다. 따라서 $1^{\prime }=0$이 되어야 함을 알 수 있다. 이러한 방법으로 양의 정수 $1,2,3,\dots$의 산술 도함수를 구해보면 다음의 수열

$$0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,\dots$$

을 얻는다. 이 수열의 더 많은 항들은 OEIS: A003415에서 확인해 볼 수 있다.

위 수열에 등장하는 $6^{\prime }$의 값은 산술 도함수의 정의를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

$$6^{\prime }=(2\cdot 3{)}^{\prime }=2^{\prime }\cdot 3+2\cdot 3^{\prime }=1\cdot 3+2\cdot 1=5$$

하지만 산술 도함수의 정의를 이용하여 (예를 들어) ${600}^{\prime }$의 값을 직접 구한다고 한다면, 그 계산량이 만만치 않을것이다. 양의 정수 $n$이 주어졌을 때, 산술의 기본정리(fundamental theorem of arithmetic)에 의하면, 서로 다른 소수 $p_1,p_2,\dots ,p_m$와 양의 정수 $k_1,k_2,\dots ,k_m$이 존재하여

$$n=\prod _{i=1}^m{p}_i^{k_i}=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$$

과 같이 유일하게 표현하는 것이 가능하다. 소인수 분해를 이용하여 산술 도함수 $n^{\prime }$의 값을 조금 더 간단히 구하는 방법에 대해 알아보도록 하자.

정리 2.

임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 산술 도함수 $(\cdot {)}^{\prime }:\mathbb{N}\to {\mathbb{N}}_0$는 다음 성질을 만족한다.

$$n=\prod _{i=1}^m{p}_i^{k_i}⟹n^{\prime }=n\sum _{i=1}^m\frac{k_i}{p_i}$$

증명. 우선 임의의 소수 $p$와 양의 정수 $k$에 대하여,

$$\begin{array}{}(\ast )& (p^k{)}^{\prime }=k\cdot p^{k-1}\end{array}$$

이 성립함을 증명하도록 하자. 증명은 $k$에 대한 수학적 귀납법을 이용할 것이다. 우선 $k=1$일 때, $p^{\prime }=1=1\cdot p^{1-1}$이므로 $(\ast )$이 성립한다. 또한 적당한 $k$에 대하여 식 $(\ast )$이 성립한다고 가정하면,

$$\begin{array}{rl}(p^{k+1}{)}^{\prime }& =(p^k\cdot p{)}^{\prime }=(p^k{)}^{\prime }\cdot p+p^k\cdot p^{\prime }\\ & =(k\cdot p^{k-1})\cdot p+p^k\cdot 1=k{p}^k+p^k=(k+1)p^k\end{array}$$

따라서 임의의 양의 정수 $k$에 대하여 식 $(\ast )$이 성립함을 알 수 있다.
이제 $n=p_1^{k_1}\cdots p_m^{k_m}$과 같이 소인수분해 되었다고 가정하자. 그러면 산술 도함수의 성질 ($m$개의 양의 정수의 곱의 미분법)과 식 $(\ast )$에 의해,

$$\begin{array}{rl}{n}^{\prime }& =\sum _{i=1}^m{p}_1^{k_1}\cdots (p_i^{k_i}{)}^{\prime }\cdots p_m^{k_m}=\sum _{i=1}^m{p}_1^{k_1}\cdots (k_i{p}_i^{k_i-1})\cdots p_m^{k_m}\\ & =\sum _{i=1}^m\frac{k_i}{p_i}(p_1^{k_1}\cdots p_i^{k_i}\cdots p_m^{k_m})=\sum _{i=1}^m\frac{k_i}{p_i}n\end{array}$$

따라서 원하는 결과를 얻는다.

위 정리를 이용하여 ${600}^{\prime }$의 값을 구해보자. $600=2^3\cdot 3\cdot 5^2$이므로,

$${600}^{\prime }=600(\frac{3}{2}+\frac{1}{3}+\frac{2}{5})=1340$$

이 됨을 알 수 있다.

정수론으로의 응용

양의 정수 $a$가 하나 주어졌다고 하자. 그러면 $n^{\prime }=a$를 만족하는 $n$을 언제나 찾을 수 있을까? 우선 $a=1$인 경우는 자명하다. 임의의 소수 $p$에 대하여 $p^{\prime }=1$이 성립하기 때문이다. 하지만 $a=2$인 경우에는 $n^{\prime }=2$를 만족하는 해가 존재하지 않는다. 만약 그러한 $n$이 존재한다면, $n$은 합성수이므로 $n=n_1{n}_2$ (단, $n_1,n_2\ge 2$)와 같이 나타낼 수 있다. 한 편,

$$2=n^{\prime }=(n_1{n}_2{)}^{\prime }=n_1^{\prime }\cdot n_2+n_1\cdot n_2^{\prime }$$

이고, 위 식의 우변의 모든 항은 양수이므로, $n_1,n_2\le 2$여야만 한다. 따라서 $n_1=n_2=2$이고 $n=4$여야만 하는데, $4^{\prime }=4$이므로 모순이다. 마찬가지 방법으로 $a=3$인 경우에도 $n^{\prime }=3$을 만족하는 해가 존재하지 않음을 확인할 수 있다. 이와 같이 $n^{\prime }=a$의 해가 존재하지 않는 모든 $a$을 나열해 보면

$$2,3,11,17,23,29,35,37,47,53,\dots$$

를 얻는데, 이 수열의 더 많은 항은 OEIS: A098700에서 확인해 볼 수 있다.

위 수열을 살펴 보면, $2$를 제외한 모든 짝수 $a$에 대하여 $n^{\prime }=a$의 해가 존재 하는 것 같아 보인다. 실제로 이 추측은 (강한) 골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)과 밀접한 관련이 있다. 여기서 (강한) 골드바흐의 추측이란, '임의의 짝수 $n\ge 4$을 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는가?'에 대한 추측이다. 만약 이 추측이 참이라 가정하면 다음의 추측 또한 참임을 간단히 보일 수 있다.

추측 3. 골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)과 산술 도함수

(강한) 골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)이 참이라 가정하자. 그러면 임의의 짝수 $a\ge 4$에 대하여, $n^{\prime }=a$을 만족하는 해가 존재한다.

증명. (강한) 골드바흐의 추측이 참임을 가정했으므로, 적당한 소수 $p,q$가 존재하여 $a=p+q$로 나타낼 수 있다. 이제 $n=pq$로 정의하자. 그러면

$$n^{\prime }=(pq{)}^{\prime }=p^{\prime }\cdot q+p\cdot q^{\prime }=q+p=a$$

이므로 추측이 참임을 알 수 있다.

산술 도함수는 쌍둥이 소수(twin prime) 추측과도 밀접한 관련이 있다. 여기서 쌍둥이 소수 추측이란, '$p$와 $p+2$가 모두 소수인 경우가 무한히 많이 존재하는가?'에 관한 추측이다. 우선 임의의 소수 $p$에 대하여 $p^{″}=(p^{\prime }{)}^{\prime }=1^{\prime }=0$이 성립함을 알 수 있는데, 만약 쌍둥이 소수 추측이 참임을 가정하면, 다음과 같이 $n^{″}=1$을 만족하는 해에 대한 추측을 얻을 수 있다.

추측 4. 쌍둥이 소수(twin prime) 추측과 산술 도함수

쌍둥이 소수(twin prime) 추측이 참이라 가정하자. 그러면 $n^{″}=1$을 만족하는 해는 무한히 많이 존재한다.

증명. 쌍둥이 소수 추측이 참이라 가정하자. 그러면 $p$와 $p+2$가 모두 소수인 경우가 무한히 많이 존재한다. 그러한 $p$에 대하여 $n=2p$로 정의하면,

$$n^{\prime }=(2p{)}^{\prime }=2^{\prime }\cdot p+2\cdot p^{\prime }=p+2$$

를 얻는다. 여기서 $p+2$ 또한 소수이므로, $(2p{)}^{″}=(p+2{)}^{\prime }=1$을 얻는다. 따라서 위 추측이 참임을 알 수 있다.

참고. '골드바흐의 추측'과 추측 3이 서로 동치인지와 '쌍둥이 소수 추측'과 추측 4가 서로 동치인지의 여부는 아직까지 알려지지 않았다.

이번에는 $n^{\prime }=a$에서 $a$가 상수가 아닌 경우에 대해서 생각해 보자. 제일 간단한 경우는 $n^{\prime }=n$이다. 이 경우는, 다음과 같이 완전한 해 집합이 알려져 있다.

정리 5. $n^{\prime }=n$의 해

$n^{\prime }=n$을 만족하는 해는 적당한 소수 $p$에 대하여, $n=p^p$의 형태가 유일하다.

증명. 정리 2의 증명과정에서, 임의의 소수 $p$와 양의 정수 $k$에 대하여 $(p^k{)}^{\prime }=k{p}^{k-1}$이 성립함을 확인하였다. 따라서 $n=p^p$인 경우,

$$n^{\prime }=(p^p{)}^{\prime }=p\cdot p^{p-1}=p^p=n$$

이 성립함을 간단히 확인할 수 있다. 해의 유일성을 증명하는 것은 이 글에서는 생략하도록 하자.

따름정리 6.

$n^{\prime }=2n$을 만족하는 해는 적당한 소수 $p$에 대하여, $n=p^{2p}$의 형태 이거나, 서로 다른 두 소수 $p,q$에 대하여 $n=p^p{q}^q$의 형태가 유일하다.

참고. 수학적 귀납법을 이용하면 정리 5와 따름정리 6의 결과를 일반화 할 수 있다. 임의의 양의 정수 $k$에 대하여, $n^{\prime }=kn$을 만족하는 해는 $n=p_1^{p_1}{p}_2^{p_2}\cdots p_k^{p_k}$의 형태 (단, 각각의 소수 $p_i$는 중복될 수 있다)가 유일하다.