[이전문서] 큐브를 돌릴때 일정한 회전을 반복하면 다시 제자리로 돌아가는 이유

이 포스트는 약 8년쯤 전에 모 클럽에 큐브 관련 연구글로 올렸던 글이다. 지금 보면 부끄러울 정도로 경험과 직관에 의존해서 썼던 글이긴 하지만, 다시 보니까 그래도 한가지에 참 열정적으로 빠져있었구나 하는 생각이 든다. 우연히 클럽을 다시 들어갔다가 이 글을 발견하여 이쪽 블로그로 옮겨본다.

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예전에 다음 카페에서 한번 질문이 올라와서 꼬릿말로 잠깐 언급한 적이 있었는데, 이번에 아얘 문서화 시켜서 정리해 봅니다.

설명하기에 앞서서 가장 쉬운 예를 하나 들어보기로 하죠. RUR'U'를 여섯번 반복하면 큐브가 다시 원위치로 돌아오는건 잘 아실겁니다. 일정한 효과를 유발하는 모든 회전은 일종의 함수라고 정의내릴 수 있습니다. OLL이나 PLL의 모든 공식들이 함수의 일종으로 볼 수 있는거죠. 그러면 이제 RUR'U'라는 회전은 어떠한 효과를 발생시키는 함수인지를 파악하는 것이 중요합니다.

일단 함수를 파악하려면 조각의 상태에 대한 정의가 필요하므로 먼저 설명하고 넘어가겠습니다. 일단 큐브의 조각은 두 면을 가진 엣지 조각과, 세면을 가진 코너 조각으로 나눌 수 있죠? 또한 각 조각들은 조각의 위치와 방향을 가지고 있습니다. 따라서 큐브 조각들은 다음의 네가지 상태로 각각 나누어서 파악하면 됩니다.

    1. 코너 조각의 위치

    2. 코너 조각의 방향

    3. 엣지 조각의 위치

    4. 엣지 조각의 방향

코너와 엣지 조각의 방향에 대해서 좀더 부연설명을 하긴 해야 되는데, 방향성을 설명하는 데만도 꽤 많은 분량이 될 것 같아서 생략합니다. 다만 블라인드 큐빙을 할때 조각의 방향성을 판단 하는 방법과 똑같이 방향성을 판단할 것이므로 그걸 참조하시면 될껍니다. (마키 홈페이지 참고.)

이제 본격적으로 RUR'U'라는 함수를 파악해 봅시다. 일단 RUR'U'를 한번 하게 되면 총 일곱 개의 조각의 위치나 방향이 바뀌게 됩니다. 먼저 코너 조각부터 살펴 보기로 하죠. 먼저 URF 조각과 DRF 조각을 봅시다. 서로 위치가 맞교환 되어 있네요. 그럼 이 두조각의 방향성을 살펴 봅시다. URF 조각은 DRF 위치로 가면서 방향성이 0에서 2가 되었습니다. (방향성 2 증가) 마찬가지로 DRF 조각은 URF 위치로 가면서 방향성이 2가 되었네요. 이제 생각을 해 봅시다. URF 조각와 DRF 조각이 제 위치를 찾기 위해서는 2번의 함수 반복이 필요합니다. (서로 맞교환이기 때문에..) 또한 각 조각들의 방향성이 다시 0이 되기 위해서는 3번의 함수 반복이 필요하죠. (URF 조각은 방향성이 2씩 증가하므로, 0→2→4→6으로 변화하게 될껍니다. 이때 6=0(mod3) 이므로 3번만에 방향성이 다시 0으로 돌아오게 됩니다. DRF 조각도 마찬가지.) 따라서 URF 조각과 DRF 조각만을 볼때에 두 조각 모두가 제 위치와 방향을 가지기 위해서는 최소한 2와 3의 최소공배수인 6번의 함수 반복이 필요합니다.

또 다른 코너 조각인 URB 조각과 ULB 조각을 보기로 하죠. 두 조각의 위치는 서로 맞교환 되었으므로 다시 제 위치를 찾기 위해서는 2번의 함수 반복, URB 조각의 방향성은 0에서 0으로 ULB 조각의 방향성은 0에서 2로 변하게 됩니다. 따라서 함수를 반복하게 되면 URB 조각의 방향성은 0→0→2→2→4→4→6 으로 변하고 ULB 조각의 방향성은 0→2→2→4→4→6→6 으로 변하게 됩니다. (왜냐하면 ULB 위치 (ULB 조각 자체를 말하는게 아님.)에 있는 조각이 URB의 위치로 갈때만 방향성이 2 증가하기 때문에..) 따라서 올바른 방향성을 가지려면 6번의 함수 반복이 필요하겠군요. 2와 6의 최소공배수는 6이므로 6번의 함수 반복으로 URB 조각과 ULB 조각의 위치와 방향이 다시 제자리로 돌아가게 됩니다. 

마지막으로 세개 남은 엣지 조각을 봅시다. 일단 UR 위치에 있던 조각은 UB 위치에, UB 위치에 있던 조각은 RF 위치에, RF 위치에 있던 조각은 UR 위치로 이동되는 세 조각의 치환이 일어남을 알 수 있습니다. 따라서 3번의 함수 반복이면 세 엣지 조각은 제 위치를 찾게 되겠네요.

이제 방향성을 따져 봅시다. UR 조각의 방향성은 0에서 0으로, UB 조각의 방향성 또한 0에서 1로, RF 조각의 방향성도 0에서 1로 조각의 방향성이 바뀌게 됩니다. 따라서 UR 조각의 방향성은 0→0→1→2 로 바뀌게 되고 2=0(mod2) 이므로 3번만에 원래의 방향성을 찾게 됩니다. 마찬가지로 UB조각의 경우 방향성은 0→1→2→2 로 3번 (UB 조각의 경우 함수를 2번 반복했을때와 3번 반복했을때의 방향성이 같으므로 최소 공배수의 값을 좀더 작게 만들 수 있는 값으로 함수 반복수를 구합니다. 이 경우에는 2번 보다는 3번이 최소 공배수가 작게 되겠죠.), FR 조각의 방향성은 0→1→1→2 로 3번만에 원래의 방향성을 찾게 됩니다. 따라서 세

엣지 조각이 제 위치와 방향을 찾기 위해서는 3과 3과 3과 3의 최소공배수인 3번의 함수 반복이면 충분합니다.

자 이제 끝났습니다. 한번의 함수 반복으로 총 7개의 조각의 위치와 방향이 틀어졌고, 이것을 크게 세부분으로 나누어서 제 위치와 방향을 찾기 위한 최소 함수 반복수를 구했었죠? 큐브 전체가 다시 제 위치와 방향을 찾기 위해서는 세부분으로 나눈 조각들 모두가 동시에 제위치와 방향을 찾아야 하므로 다시 최소공배수를 구해줘야 합니다. 이와 같은 경우에는 6과 6과 3의 최소 공배수인 6번의 함수 반복이면 되겠네요.

이제 RUR'U'를 6번 반복하면 큐브가 제자리로 돌아간다는것을 장황하게 수학적으로 증명했습니다. 위와 같이 반복수가 적은 함수의 경우 물론 직접 돌려보는게 빠르겠지만, 좀더 극단적인 경우로 415번 반복해야 하는 FRBL 이란 함수의 경우 실제로 돌려보는것 보다는 이런식으로 조각들의 위치와 방향을 따져서 계산해 보는게 더 빠를겁니다. (아마도..)

2006년 7월 6일 글