멱영행렬(nilpotent matrix)과 고윳값(eigenvalue) 사이의 관계
$n \times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 만약 적당한 양의 정수 $k$가 존재하여 $A^k = 0$이 성립하면, $A$를 멱영행렬(nilpotent matrix)라 정의한다. 멱영행렬의 고윳값(eigenvalue)를 생각해 보면 재미있는 사실을 발견할 수 있는데, 이는 다음과 같다. $ $ 정리. $n \times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 이 때, 다음 세 명제는 서로 동치이다. $A$는 $0$을 유일한 고윳값으로 갖는다. $A^n = 0$이 성립한다. $A$는 멱영행렬이다. $ $ 증명. $\color{myblue}{\text{(a)} \Rightarrow \text{(b)} \Rightarrow \text{(c)} \Rightarrow \text{(a)}}$를 각..