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변형 스도쿠 시리즈(Sudoku Variants Series) 000. Classic Sudoku
변형 스도쿠(Sudoku Variant)란 기본적인 스도쿠의 규칙에 몇 가지 추가적인 규칙을 적용한 스도쿠를 말한다. 간한한 규칙의 추가만으로도 전혀 다른 형태의 스도쿠가 나오고, 이를 푸는 과정에 있어서도 기준의 전략를 뛰어넘는 다양한 전략들이 사용된다는 점에서 스도쿠 변형은 기본 스도쿠 못지 않게 인기가 많은 퍼즐의 한 분야이다. 독일인 퍼즐리스트 Richard는 2013년 12월부터 매주 화요일마다 다양한 스도쿠의 변형을 소개하는 '변형 스도쿠 시리즈(Sudoku Variants Series)'를 연재하고 있는데, 이를 변역하여 이곳에 소개해 보고자 한다. 000. Classic Sudokuplace the digits from 1 to 9 in every row, column and 3x3-blo..
Puzzles/Sudoku  |  2014. 8. 23. 08:34
티스토리 초대장 배포합니다.
개인적으로 자료를 정리해서 올리는데에 자기만족을 느끼면서 운영하는 블로그라 초대장 배포할 수 있게 되리라고는 생각지도 못했는데, 그래도 꾸준히 포스트를 하다보니 이런 기회도 오게 되네요. 저도 처음에 블로그를 시작하고 싶어서 여기저기 다른 블로그들 기웃 거리면서 초대장을 구걸하던 기억이 납니다. 아무튼! 8월 티스토리 초대장 배포합니다. 아래에 정해진 양식에 맞추어서 댓글을 남겨주시면 제 나름의 기준에 맞추어서 초대장 보내 드릴게요!! 1. 초대장을 받게 될 이메일 주소초대장은 개인 이메일로 보내지게 됩니다. 주로 사용하시는 이메일 주소를 알려주세요. 이메일 주소가 asdf1234, q1w2e3r4 등과 같이 스팸이 의심되는 주소는 피해주세요!! 2. 운영하고 싶은 블로그의 주제와 간략한 설명개인적으로는..
Miscellaneous  |  2014. 8. 23. 04:17
주요 적분공식 정리 (1)
적분(Integration)은 미분(Differentiation)과 함께 미적분학(Calculus)에서 가장 중요한 두가지 연산 중 하나이다. 하지만, 적분의 경우 미분해 비해 상대적으로 계산이 까다롭고, 심지어는 어떤 함수의 부정적분(Indefinite Integral)은 초등적인 함수로 표현이 불가능한 경우가 많다. 그래서 보통 함수의 부정적분을 구할 때, 치환적분(Substitution) 또는 부분적분(Integration by parts)등을 사용하여 주어진 함수를 부정적분을 구하기 쉬운 함수로 변형한 뒤에 아래의 적분공식을 사용하여 최종적인 값을 구하곤 한다. 따라서 이번 포스트에서는 기본적인 적분(Integral) 공식을 정리해 보았다. 1. 다항함수(Polynomials), 유리함수(Rati..
Analysis/Calculus  |  2014. 8. 21. 01:14
주요 급수전개 정리
테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서, 미분가능한 함수를 다항식의 형태로 근사하는 방법중 하나이다. 이 급수의 개념은 스코틀랜드의 수학자 그레고리(James Gregory)가 시초지만 1715년 이후, 영국의 수학자 테일러(Brook Taylor)에 의해 널리 알려지게 되었다. 먼저 테일러 급수의 정의에 대해서 알아보도록 하자. 주어진 함수 $f(x)$가 임의의 실수 $a$를 포함하는 구간에서 무한번 미분 가능(infinitely differentiable)하다고 하자. 이때, $a$를 중심(center)으로 갖는 $f(x)$의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.$$ \begin{align*} f(x) & = \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \..
Analysis/Calculus  |  2014. 8. 20. 10:56
큰 수에 대하여 (5) - 초거대 수학상수
이번 포스트에서는 실제로 수학의 증명에서 나타난 초거대 수학상수들에 대해 알아보고, 실제로 이 수가 얼마나 큰 수인지 가늠해보려고 한다. 제일 먼저 살펴볼 구골(Googol)등은 수학적으로 의미있는 상수는 아니지만(실제로 수학상수가 아니라 수를 표현하는 단위 중 하나이다), 워낙 유명하기 때문에(Google의 회사명이 Googol의 철자를 잘못 쓴 것에서 비롯되었다고 한다.) 함께 포함시켜 보았다. 1. 구골(Googol)과 구골플렉스(Googolplex) 구골(Googol)은 $10^{100}$, 다시 말해 1 뒤에 0이 100개 붙어 있는 수이다. 이 수의 이름은 1938년에 수학자 에드워드 카스너의 10살짜리 조카가 지었다고 한다. 1부터 70까지 순서대로 곱하면 (70!) 약 1.2 구골이 된다...
Algebra/Arithmetic  |  2014. 8. 20. 07:25
큰 수에 대하여 (3) - 크누스 윗화살표 표기법(Knuth's Up-Arrow Notation)
크누스 윗화살표 표기법(Knuth's up-arrow notation)은 매우 큰 정수를 표기하는 방법중의 하나로 크누스(Donald Knuth) 에 의해 1976년에 개발되었다. 곱셈은 덧셈의 반복연산, 거듭제곱은 곱셈의 반복연산이라는 사실에 착안하며, 거듭제곱의 반복연산 (테트레이션(tetration)), 테트레이션의 반복연산등을 쉽게 표기할 수 있는 방법 중 하나로써 개발되었다. 크누스 윗화살표 표기법의 간단한 설명하면 다음과 같다. 먼저 \(a\)의 \(n\) 거듭제곱을 \(a \uparrow n\)으로 나타낸다. 다시말해 \(a \uparrow n :=a^n\)으로 정의한다. 또한 \(a \uparrow \uparrow n\)은 \(a \uparrow n\)을 \(n\)회 반복시행한 것, 즉 테..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 8. 8. 11:28
큰 수에 대하여 (1) - 테트레이션(Tetration)의 정의
테트레이션(tetration)이란, 거듭제곱(exponential) 다음에 오는 4번째 하이퍼 연산자(hyper operator)로써,거듭제곱의 반복 연산으로 정의된다. 테트레이션이라는 용어는 4를 뜻하는 접두어 tetra와 반복을 뜻하는 iteration의 합성어로, 19세기 영국의 수학자 구스테인(Reuben Louis Goodstein)이 처음 명명하였다. 테트레이션을 설명하기 앞서 처음 세개의 하이퍼 연산자에 대해 알아보자. 0. 다음수(succession) \[ a' := a + 1 \] 1. 덧셈(Addition) : 다음수 연산의 \(n\)회 반복 \[ a+n := a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n\text{-times}} \] 2. 곱셈(Multiplic..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 8. 8. 09:12
로또에 당첨될 확률에 대하여 (1)
이번 포스트에서는 간단한 확률 계산으로 우리나라에서 파는 나눔로또 6/45의 당첨 확률을 계산해 보려고 한다. 한국에서 판매하는 로또는 1부터 45까지의 45개의 숫자중에서 6개의 숫자를 선택한 후, 이 숫자들이 특정한 조건을 만족할 경우에 당첨금을 지급하는 방식이다. 1등의 경우 6개의 숫자 모두를 맞추어야 하고, 2등은 5개의 숫자와 하나의 보너스 숫자, 3등은 5개의 숫자, 4등은 4개의 숫자, 5등은 3개의 숫자를 맞춰야 한다. 각각의 확률을 구하기 위하여 우선 45개의 숫자중에서 6개의 숫자를 총 선택하는 경우의 수를 구하여보자.\[ _{45}C_{6} = \frac{49!}{6! \times 39!} = 8,145,060 \] 이제 1등이 당첨되게 하는 6개의 숫자를 '당첨숫자' 그 외의 39..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2014. 8. 1. 09:50
평균(mean)에 대하여 (3) - 더욱 일반화된 평균
우리는 다양한 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean), 이차평균(quadratic mean)등의 다양한 평균들의 정의와 이를 아우르는 멱평균(power mean)의 개념에 대해 알아보고, 젠센부등식(Jensen's inequality)을 이용하여 산술-기하-조화평균 부등식을 증명해 보았다. 이번시간에는 멱평균을 더욱 일반화한 평균들에 대하여 알아보도록 하자. 우선 멱평균에 가중치(weight)를 부여한 가중치 멱평균(weighted power mean)에 대해 생각해 볼 수 있다. 양수 \(p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}\)이 \(\sum_{i=1}^{n}p_{i}=1\)를 만족한다고 하자. 그러면 \(a_{1},a..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 7. 26. 12:48
평균(mean)에 대하여 (2) - 젠센부등식과 이를 이용한 증명들
저번 포스트에서 다양한 방법으로 정의되는 평균들에 대한 소개와, 이를 한꺼번에 아우르는 멱평균(power mean)에 대해 살펴보았다. 또한 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리우는 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이에 성립하는 절대부등식을 소개하였다.\[\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n} \leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_{i}} \leq \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}} \]실제로 이 부등식은 \(n\)에 대한 수학적 귀납법(mathematical induction)을 이용하면 어렵지 않게 증명할 수 있다. 이번 포스트에서는 젠센부등식(Jensen's inequality)을 이용한 산술-기하-조화평균 부등식과 서로 다른 두 멱..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 7. 26. 12:40

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