jjycjn's Math Storehouse

군 $SO_3$ 위에서의 자유군 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$ 이번에는 바나흐-타르스키 역설을 증명하기 위한 마지막 재료를 살펴보려고 한다. 먼저 3차원상의 구면 $\mathcal{S}^2$를 생각하자\[ \mathcal{S}^2 := \set{(x,\,y,\,z) \in \R^3}{x^2 + y^2 + z^2 = 1}. \]이제 $^2$ 위에서의 모든 회전운동을 모아놓은 집합 $SO_3$를 생각해 보자. 그러면 이 집합의 원소는 행렬식(determinant)이 $1$인 $3 \times 3$ 직교행렬(orthogonal matrix)이 되고, 또한 군(group)을 이룬다는 사실이 알려져 있다. 즉,\[ SO_3 := \set{A \in \R^{3 \times 3}}{A^{\..

$\mathfrak{F}(x,\,y)$를 생성원(generator) $x$, $y$에 의해 생성된 자유군(free group)이라 하자. 자유군 $\mathfrak{F}(x,\,y)$은 아래의 조건을 만족하는 문자 $x$, $y$, $x'$, $y'$의 나열들로 구성되어 있다.\[ xx' = x'x = yy' = y'y = e. \]이 때, $e$는 $\mathfrak{F}(x,\,y)$의 항등원(unit element)이다. 또한 이 자유군의 연산은 단순히 두 원소의 나열로 정의하자. 예를 들어 $\mathfrak{u} = yyx'yx$ 이고 $\mathfrak{v} = x'yxy$라 하면, $\mathfrak{u} \cdot \mathfrak{v}$는 아래와 같이 계산한다. \[ \mathfrak{u..