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바나흐-타르스키 역설 - 3.

S O_{3}

위에서의 자유군

S O_{3}

위에서의 자유군

F (φ, ψ)

이번에는 바나흐-타르스키 역설을 증명하기 위한 마지막 재료를 살펴보려고 한다. 먼저 3차원상의 구면

S^{2}

를 생각하자

S^{2} := {(x, y, z) \in R^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} .

^{2}

위에서의 모든 회전운동을 모아놓은 집합

S O_{3}

를 생각해 보자. 그러면 이 집합의 원소는 행렬식(determinant)이

1

3 \times 3

직교행렬(orthogonal matrix)이 되고, 또한 군(group)을 이룬다는 사실이 알려져 있다. 즉,\[ SO_3 := \set{A \in \R^{3 \times 3}}{A^{\..

Foundations/Set Theory | 2016. 3. 30. 13:36

바나흐-타르스키 역설 - 2. 자유군

F (x, y)

를 생성원(generator)

x

y

에 의해 생성된 자유군(free group)이라 하자. 자유군

F (x, y)

은 아래의 조건을 만족하는 문자

x

y

x^{'}

y^{'}

의 나열들로 구성되어 있다.

x x^{'} = x^{'} x = y y^{'} = y^{'} y = e .

e

F (x, y)

의 항등원(unit element)이다. 또한 이 자유군의 연산은 단순히 두 원소의 나열로 정의하자. 예를 들어

u = y y x^{'} y x

v = x^{'} y x y

u \cdot v

는 아래와 같이 계산한다. \[ \mathfrak{u..

Foundations/Set Theory | 2016. 3. 30. 11:50

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