임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 아래의 적분값을 구하여라.
먼저 양의 정수 $n$을 고정하고, 아래와 같이 함수 $f_n : [0,\,1] \to \R$를 정의하자.
\[ f_n(x) = (1-x^n)^{1/n} \]
이 함수는 구간 $[0,\,1]$에서 연속(continuous)이고 전단사(bijection)이므로 역함수가 존재한다. 이 역함수를 $f^{-1}$라 하자. 그러면
\[ y = (1-x^n)^{1/n} \implies y^n = 1-x^n \implies x^n = 1-y^n \implies x = (1-y^n)^{1/n} \]
라는 사실로부터 $f^{-1} \equiv f$임을 알 수 있다. 또한 $f(0)=1$, $f(1)=0$이 성립한다.
이제 구간 함수 $y=f(x)$, $y=0$, $x=0$으로 둘러 싸인 영역을 $y$ 축으로 회전하여 생긴 회전체의 부피를 생각해 보자. 이 회전체의 부피는 disc method와 shell method를 이용하여 서로 다른 두가지 방법으로 구할 수 있다.
\[ \pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 \, \mathrm{d}x = 2 \pi \int_{0}^{1} y f^{-1}(y) \, \mathrm{d}y = 2 \pi \int_{0}^{1} x f(x) \, \mathrm{d}x \tag*{$(\ast)$} \]
따라서 주어진 적분은 $(\ast)$에 의하여,
\[ \begin{aligned} \int_{0}^{1} \left( (1-x^n)^{1/n} - x \right)^2 \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{1} \left( f(x) - x \right)^2 \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{1} [f(x)]^2 \, \mathrm{d}x - 2 \int_{0}^{1} x f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{0}^{1} x^2 \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{1} x^2 \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned} \]
따라서 주어진 적분값은 $n$의 값에 관계 없이 항상 $\frac{1}{3}\,$을 갖는다.
