"오일러 상수 $e$는 무리수이다."의 증명

• $\sqrt{2}$는 무리수이다.
• 오일러 상수 $e$는 무리수이다.
• 원주율 $\pi$는 무리수이다.

정리

오일러 상수 $e$는 무리수(irrational)이다.

증명. 먼저 $e$의 급수전개(series expansion)에 대해 살펴보자.

$$S_n:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{k!}+\cdots .$$

이 급수전개에 대한 $n$번 째 부분합(partial sum)을 아래와 같이 정의한다.

$$S_n:=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}.$$

이제 임의의 자연수 $n$과 부분합 $S_n$에 대하여 다음의 사실이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}0& <e-S_n\\ & =\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)!}+\cdots \\ & =\frac{1}{(n+1)!}[1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+3)(n+2)}+\cdots ]\\ & <\frac{1}{(n+1)!}[1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1{)}^2}+\cdots ]\\ & \stackrel{(\ast )}{=}\frac{1}{(n+1)!}\left[\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}\right]\\ & =\frac{1}{(n+1)!}\left[\frac{n+1}{n}\right]\\ & =\frac{1}{nn!}\end{array}$$

여기서 등식 $(\ast )$는 우변의 괄호 안의 항은 공비가 $1/(n+1)$인 기하급수(geometric series)의 형태이고 ($1/(n+1)<1$ 이므로) 수렴한다는 사실을 이용하였다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여

$$\begin{array}{}(\ast \ast )& 0<n!(e-S_n)<\frac{1}{n}\end{array}$$

이 성립한다. 특히, $n>1$인 경우, $0<n!(e-S_n)<1$임을 알 수 있다.

이제 $e$가 유리수(rational number)라고 가정해보자. 즉, 서로소인 두 정수 $a,b$가 존재하여 $e=\frac{a}{b}$ 라고 나타낼 수 있다고 가정해보자. 이제$n>b$가 되게끔 충분히 큰 $n$을 택한다. 우선 $b\ne 1$이므로 $n>1$이고 따라서 $0<n!(e-S_n)<1$임을 알 수 있다. 하지만,

$$\begin{array}{rl}n!(e-S_n)& =n!(\frac{a}{b}-S_n)\\ & =n!\left(\frac{a}{b}\right)-n![1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}]\\ & =a\left(\frac{n!}{b}\right)-[n!+n!+\frac{n!}{2!}+\frac{n!}{3!}+\cdots +\frac{n!}{n!}].\end{array}$$

이제 위 식의 마지막 항을 자세히 살펴보자. 먼저 $n>b$이므로 $n!$은 $b$의 배수이다. 따라서 $\frac{n!}{b}$ 는 정수(integer)여야만 한다. 또한 괄호 안의 각 항도 모두 정수이므로, 마지막 우변의 계산 결과는 정수여야만 할 것이다. 하지만 어떤 정수도 $0$보다 크고 $1$보다 작을 수 없기 때문에 모순이 생긴다. 즉, $e$가 유리수라는 가정이 잘못되었고, 그러므로 $e$는 무리수(irrational)이다. ■