"$\sqrt{2}$는 무리수이다."의 증명

• $\sqrt{2}$는 무리수이다.
• 오일러 상수 $e$는 무리수이다.
• 원주율 $\pi$는 무리수이다.

정리

$\sqrt{2}$는 무리수(irrational)이다.

증명. 일단 $\sqrt{2}$가 유리수라고 가정해보자. 그러면 서로소인 정수 $a,\,b$가 존재하여 $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ 로 나타낼 수 있다. 이제 이 식의 양변을 제곱하면, $2 = \frac{a^2}{b^2}$이고 따라서 $2b^2 = a^2$이 되어 $a^2$이 짝수 임을 알 수 있다. 여기서 만약 $a$가 홀수라면 $a^2$ 또한 홀수가 되므로, $a$는 짝수여야만 한다. 이제 $a=2c$로 나타내 보자. 그러면, $2b^2 = a^2 = (2c)^2 = 4c^2$이 되고 정리하면 $b^2 = 2c^2$을 얻는다. 그러므로 $b^2$ 또한 짝수여야 하고, 앞에서와 같은 방법으로 $b$ 또한 짝수일 수 밖에 없음을 알 수 있다. 정리하면 $a$와 $b$ 둘 다 짝수이고 이는 $a$와 $b$가 서로소라는 가정에 모순이다. 그러므로 $\sqrt{2}$는 무리수이다. ■