분자와 분모에 같은 수를 더하면?

수학 문제를 풀다 보면 가끔 다음과 같은 형태의 분수들의 대소를 비교해야 하는 경우가 있다.

\[ (1) \ \frac{94}{99} \text{ 와 } \frac{101}{106} \qquad \text{또는} \qquad (2) \ \frac{99}{94} \text{ 와 } \frac{106}{101}. \]

위와 같은 경우 보통 분모를 통분한 후에 분자를 대소를 비교하는 방법을 사용하게 된다. 하지만, 만약에 분자나 분모에 상대적으로 복잡한 수가 있으면, 통분을 하는데 많은 시간을 허비하게 될 수도 있다. 위와 같은 형태의 분수들의 대소를 통분을 하지 않고 비교하는 방법은 없을까? 먼저 주어진 분수들을 잘 살펴보면, 예제 $(1)$과 $(2)$ 모두 첫번째 분수의 분자와 분모에 $7$을 더하면, 두번째 분수의 형태가 나오는 것을 알 수 있다. 따라서 위 두개의 예제 모두 아래와 같은 형태로 일반화가 가능하다.

\[ \frac{a}{b} \text{ 와 } \frac{a+c}{b+c} \text{ 의 대소비교} \]

우선 문제를 간단히 하기 위해서 $a,\,b,\,c > 0$이라 가정하자. 이제 대소를 비교하기 위하여 두 분수의 차를 구해보면,

\[ \begin{aligned} \frac{a}{b} - \frac{a+c}{b+c} & = \frac{a(b+c) - b(a+c)}{b(b+c)} \\ & = \frac{ab + ac - ab- bc}{b(b+c)} \\ & = \frac{ac-bc}{b(b+c)} \\ & = \frac{c(a-b)}{b(b+c)}. \end{aligned} \]

따라서, $a>b$인 경우 $\frac{a}{b} > \frac{a+c}{b+c}$를 얻고, $a<b$인 경우 $\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}$를 얻는다. 이를 다시 정리해 보면,

Theorem

$a,\, b,\, c$가 모두 양의 실수라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(1) $a>b$일 때, $\displaystyle{\frac{a}{b} > \frac{a+c}{b+c}}$.    (2) $a<b$일 때, $\displaystyle{\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}}$.

이제 위 정리를 처음 두 예제에 적용해 보면 다음과 같다. 예제 $(1)$의 경우, $\frac{94}{99}$와 $\frac{94+7}{99+7}$의 대소를 비교하는 것과 같고, $94<99$이므로 $\frac{94}{99} < \frac{94+5}{99+5} = \frac{101}{106}$임을 쉽게 알 수 있다. 반대로 예제 $(2)$의 경우, $\frac{99}{94}$와 $\frac{99+7}{94+7}$의 대소를 비교하는 것과 같고, $99>94$이므로 $\frac{99}{94} > \frac{99+5}{94+5} = \frac{106}{101}$을 얻는다.