"원주율 $\pi$는 무리수이다."의 증명

• $\sqrt{2}$는 무리수이다.
• 오일러 상수 $e$는 무리수이다.
• 원주율 $\pi$는 무리수이다.

정리

원주율 $\pi$는 무리수(irrational)이다.

증명. 모순을 이끌어 내기 위해 원주율 $\pi$가 유리수(rational number)라고 가정해보자. 즉, 서로소인 두 정수 $a,\,b$가 존재하여 $e = \frac{a}{b}$ 라고 나타낼 수 있다고 가정해보자. 이제 임의의 자연수 $n$에 대하여 아래와 같은 함수를 정의한다.

\[ f(x) = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!}. \]

그러면 함수의 정의에 의해 $f(0) = 0$이고

\[ \begin{aligned} f(\pi-x) &= \frac{(\pi-x)^n(a-b(\pi-x))^n}{n!} = \frac{(\frac{a}{b}-x)^n(a-b(\frac{a}{b}-x))^n}{n!} \\ &= \frac{(\frac{a}{b}-x)^n (bx)^n}{n!} = \frac{(a-bx)^n x^n}{n!} = f(x) \end{aligned} \]

임을 알 수 있다. 따라서 $f(\pi) = f(0) = 0$을 얻는다. 나아가 $f(x)$를 전개해 보면

\[ \begin{aligned} f(x) & = \frac{x^n(a - bx)^n}{n!} \\ & = \frac{x^n \left({n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}(-bx) + {n \choose 2}a^{n-2}(-bx)^2 + \cdots + {n \choose n}(-bx)^n \right)}{n!} \\ & = \frac{{n \choose 0}a^n x^n - {n \choose 1}a^{n-1} bx^{n+1} + {n \choose 2}a^{n-2} b^2x^{n+2} - \cdots + (-1)^n{n \choose n}b^n x^{2n}}{n!} \\ & = \frac{m_n x^n + m_{n+1}x^{n+1} + m_{n+2}x^{n+2} + \cdots + m_{2n} x^{2n}}{n!} \end{aligned} \]

를 얻고 따라서 $f(x)$는 최고차항의 차수가 $2n$이고 최저차항의 차수가 $n$인 다항식(polynomial)임을 알 수 있다. 여기서 항 $x^k$의 계수 $m_k$는 모두 정수임을 기억하자. 먼저 $0<k<n$에 대하여 $f^{(k)}(0) = 0$이고 $k>2n$에 대해서도 $f^{(k)}(0) = 0$임은 쉽게 확인 할 수 있다. 이제 $n \leq k \leq 2n$인 경우, $f^{(k)}(0)$의 값은 $f^{(k)}(x)$의 상수항의 계수와 같고 이는

\[ \frac{k!m_k}{n!} \]

와 같다. 이제 $n \leq k \leq 2n$에 대하여 $k!$이 $n!$의 배수이므로, 이 상수항의 계수는 정수가 됨을 알 수 있다. 그러므로 모든 자연수 $k$에 대하여 $f^{(k)}(0)$의 값은 정수이다. 또한 앞서 살펴본 $f(x) = f(\pi-x)$라는 사실에 연쇄법칙(chain rule)을 반복적으로 적용하면, 모든 자연수 $k$에 대하여

\[ f^{(k)}(x) = (-1)^k f^{(k)}(\pi-x) \]

임을 알 수 있다. 이제 또 다른 함수 $G(x)$를 아래와 같이 정의하자:

\[ G(x) = f(x) - f^{(2)}(x) + f^{(4)}(x) - \cdots + (-1)^n f^{(2n)}(x). \]

그러면 위에서 살펴본 $f^{(k)}(x)$의 성질들에 의해 $G(0)$과 $G(\pi)$의 값은 정수가 됨을 알 수 있다. 또한 $G(x)$를 두번 미분하면,

\[ G^{(2)} = f^{(2)}(x) - f^{(4)}(x) + f^{{6}}(x) - \cdots + (-1)^n f^{(2n+2)}(x) \]

를 얻고 $f^{(2n+2)}(x)=0$이므로, $G(x) + G^{(2)}(x) = f(x)$이 성립함을 알 수 있다. 마지막으로

\[ \begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( G^{(1)}(x) \sin(x) - G(x) \cos(x) \right) \\ & \qquad = \left(G^{(2)}(x) \sin(x) + G^{(1)}(x) \cos(x) \right) - \left(G^{(1)}(x) \cos(x) - G(x)sin(x)\right) \\ & \qquad = G^{(2)}(x) \sin(x) + G(x) \sin(x) \\ & \qquad = \left(G^{(2)}(x) + G(x) \right) \sin(x) \\ & \qquad = f(x) \sin(x). \end{aligned} \]

따라서 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)에 의해

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{\pi}f(x) \sin(x) \,\mathrm{d}x & = \left. G^{(1)}(x) \sin(x)-G(x) \cos(x) \right|_{0}^{\pi} \\ & = G(0) - G(\pi). \end{aligned} \]

앞서 $G(0)$과 $G(\pi)$가 정수임을 살펴보았고 따라서 이 적분값은 정수가 됨을 알 수 있다. 하지만 $[0,\,\pi]$에서 $\sin(x) \leq 1$, $x^n \leq \pi^n$, $(a-bx)^n \leq a^n$이므로

\[ 0 \leq f(x) \sin(x) = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!} \sin(x) \leq \frac{\pi^n a^n}{n!} \]

를 얻는다. 이제 위 식을 $0$부터 $\pi$까지 적분하면,

\[ 0 < \int_{0}^{\pi}f(x) \sin(x) \,\mathrm{d}x < \frac{\pi^{n+1} a^n}{n!}. \]

이제 $n$을 충분히 크게 잡으면 우변의 $\frac{\pi^{n+1} a^n}{n!}$ 을 $1$보다 작게 만들어 줄 수 있고 따라서 이 적분값은 $0$과 $1$ 사이의 수임과 동시에 정수여야만 하는데 이는 모순이다. 따라서 $\pi$는 무리수(irrational)여야만 한다. ■