Problems and Solutions #008

Problem #008

수열 $(a_n)$의 $n$번째 항을 다음과 같이 정의하자. $a_n$은 왼쪽에서 오른쪽으로 세었을 때 $n$개의 $1$, $1$개의 $0$, 다시 $n$개의 $8$, 마지막으로 $1$개의 $9$로 구성된 수이다. 예를 들어 수열 $(a_n)$의 첫 $4$개의 항은 아래와 같다.

$$\begin{array}{rl}{a}_1& =1089\\ a_2& =110889\\ a_3& =11108889\\ a_4& =1111088889\end{array}$$

이때 수열 $(a_n)$의 모든 항이 제곱수(perfect square)임을 증명하여라.

우선 간단한 계산을 통해서

$$\begin{array}{rl}{a}_1& =1089={33}^2\\ a_2& =110889={333}^2\\ a_3& =11108889={3333}^2\\ a_4& =1111088889={33333}^2\end{array}$$

임을 쉽게 확인할 수 있다. 이제 임의의 $n$에 대하여 $a_n$이 제곱수임을 증명해 보자.

수열 $(a_n)$의 일반항은

$$a_n=\underset{n}{\underbrace{111\cdots 1}}0\underset{n}{\underbrace{888\cdots 8}}9$$

로 주어진다. 이를 급수 표현을 이용하여 다시 나타내면,

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =9+8\sum _{k=1}^{n+1}{10}^k+\sum _{k=n+2}^{2n+1}{10}^k\\ & =9+80\frac{{10}^n-1}{10-1}+{10}^{n+2}\frac{{10}^n-1}{10-1}\\ & =\frac{1}{9}[81+80({10}^n-1)+{10}^{n+2}({10}^n-1)]\\ & =\frac{1}{9}[{10}^{2n+2}-2\cdot {10}^{n+1}+1]\\ & ={\left(\frac{{10}^{n+1}-1}{3}\right)}^2.\end{array}$$

따라서 수열 $(a_n)$의 모든 항은 제곱수임을 알 수 있다.