Problems and Solutions #008

Problem #008

수열 $(a_n)$의 $n$번째 항을 다음과 같이 정의하자. $a_n$은 왼쪽에서 오른쪽으로 세었을 때 $n$개의 $1$, $1$개의 $0$, 다시 $n$개의 $8$, 마지막으로 $1$개의 $9$로 구성된 수이다. 예를 들어 수열 $(a_n)$의 첫 $4$개의 항은 아래와 같다.

\[ \begin{aligned} a_1 &= 1089 \\ a_2 &= 110889 \\ a_3 &= 11108889 \\ a_4 &= 1111088889 \end{aligned} \]

이때 수열 $(a_n)$의 모든 항이 제곱수(perfect square)임을 증명하여라.

우선 간단한 계산을 통해서

\[ \begin{aligned} a_1 &= 1089 = 33^2 \\ a_2 &= 110889 = 333^2 \\ a_3 &= 11108889 = 3333^2 \\ a_4 &= 1111088889 = 33333^2 \end{aligned} \]

임을 쉽게 확인할 수 있다. 이제 임의의 $n$에 대하여 $a_n$이 제곱수임을 증명해 보자.

수열 $(a_n)$의 일반항은

\[ a_n = \underbrace{111 \cdots 1}_{n} 0 \underbrace{888 \cdots 8}_{n} 9 \]

로 주어진다. 이를 급수 표현을 이용하여 다시 나타내면,

\[ \begin{aligned} a_n &= 9 + 8 \sum_{k=1}^{n+1} 10^k + \sum_{k=n+2}^{2n+1} 10^k \\ &= 9 + 80 \frac{10^n - 1}{10-1} + 10^{n+2} \frac{10^n - 1}{10-1} \\ &= \frac{1}{9} \, \left[ 81 + 80 (10^n - 1) + 10^{n+2}(10^n - 1) \right] \\ &= \frac{1}{9} \, \left[ 10^{2n+2} - 2 \cdot 10^{n+1} + 1 \right] \\ &= \left( \frac{10^{n+1} - 1}{3} \right)^2. \end{aligned} \]

따라서 수열 $(a_n)$의 모든 항은 제곱수임을 알 수 있다.