간단한 삼각함수 공식 하나

탄젠트(tangent) 함수의 도함수(derivative)를 살짝만 변형해 보면 아래의 공식을 얻는다.

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, \tan(x) &= \sec^2(x) \\ &= 1 + \tan^2(x) \\ &= \left[ \sin^2(x) + \cos^2(x) \right] + \tan^2(x). \end{aligned} \]

따라서 세 삼각함수들의 제곱의 합이 탄젠트 함수의 도함수와 같음을 알 수 있다. 이 결과가 그냥 수학적으로 우연인 결과일까? 아니면 위 식에 기하학적이나 물리학적인 의미가 있을까? 구글링을 해봐도 그럴듯한 설명은 찾지 못했다. 위와 완전히 같은 질문이 math stackexchange에 올라왔는데, 댓글을 보니 그냥 수학적 우연인 것 같기는 하다.