무리수의 무리수 제곱이 유리수가 될 수 있을까?

위의 질문에 관한 간단하지만 신기한 증명이 있어서 올려본다. 

정리. $s^t$가 유리수가 되게 하는 두 양의 무리수 $s$, $t$가 존재한다. 

증명. 만약 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$가 유리수라면 간단히 $s = t = \sqrt{2}$로 정의하는 것으로 증명이 끝난다. 만약 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$이 무리수라면, $s = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$, $t = \sqrt{2}$로 정의하자. 그러면 

$$ s^t = \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \left( \sqrt{2} \right)^2 = 2. $$ 

따라서 증명이 끝난다. 

(그 증명이 쉽지는 않지만 실제로 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$는 무리수이다.)