Problems and Solutions #007

Problem #007

$x=a$가 아래 방정식의 한 해라고 하자.

\[ x^{2016} - 4x + 3 = 0. \]

이 때, 아래 식이 가질 수 있는 모든 값을 구하여라.

\[ 1 + a + a^2 + a^3 + \cdots + a^{2015}. \]

우선 $x=a$가 주어진 방정식 $x^{2016} - 4x + 3 = 0$의 해라고 하자. 만약 $a \neq 1$이면 등비급수의 부분합 공식에 의하여,

\[ 1 + a + a^2 + a^3 + \cdots + a^{2015} = \frac{a^{2016}-1}{a-1} \, . \]

여기서 $a^{2016} = 4a-3$이므로, 이를 위 식에 대입하면,

\[ 1 + a + a^2 + a^3 + \cdots + a^{2015} = \frac{a^{2016}-1}{a-1} = \frac{(4a-3)-1}{a-1} = 4. \]

$a=1$인 경우는 (이 또한 주어진 방정식의 해이다.) 간단하게

\[ 1 + a + a^2 + a^3 + \cdots + a^{2015} = 2016 \]

임을 알 수 있다.

따라서 가능한 모든 값은 $4$ 또는 $2016$이다.