Problems and Solutions #007

Problem #007

$x=a$가 아래 방정식의 한 해라고 하자.

$$x^{2016}-4x+3=0.$$

이 때, 아래 식이 가질 수 있는 모든 값을 구하여라.

$$1+a+a^2+a^3+\cdots +a^{2015}.$$

우선 $x=a$가 주어진 방정식 $x^{2016}-4x+3=0$의 해라고 하자. 만약 $a\ne 1$이면 등비급수의 부분합 공식에 의하여,

$$1+a+a^2+a^3+\cdots +a^{2015}=\frac{a^{2016}-1}{a-1}.$$

여기서 $a^{2016}=4a-3$이므로, 이를 위 식에 대입하면,

$$1+a+a^2+a^3+\cdots +a^{2015}=\frac{a^{2016}-1}{a-1}=\frac{(4a-3)-1}{a-1}=4.$$

$a=1$인 경우는 (이 또한 주어진 방정식의 해이다.) 간단하게

$$1+a+a^2+a^3+\cdots +a^{2015}=2016$$

임을 알 수 있다.

따라서 가능한 모든 값은 $4$ 또는 $2016$이다.