Problems and Solutions #024

Problem #024

(1) 아래 방정식을 만족하는 서로 다른 양의 정수쌍 $(a,\,b,\,c)$를 찾아라.

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \]

(2) 아래 방정식을 만족하는 서로 다른 양의 정수쌍 $(a,\,b,\,c,\,d,\,e)$를 찾아라.

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} = 1 \]

양의 정수 $6$과 $28$은 완전수(perfect number)^[각주:1]이다. 즉, 아래 등식이 성립한다.

\[ \begin{align*} 6 &= 1 + 2 + 3 \\ 28 &= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \end{align*} \]

위 사실을 이용하면 간단히 다음을 보일 수 있다.

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

또한

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = \frac{14 + 7 + 4 + 2 + 1}{28} = 1 \]

따라서 문제 (1)의 정답은 $(2,\,3,\,6)$, 문제 (2)의 정답은 $(2,\,4,\,7,\,14,\,28)$임을 알 수 있다. 물론, 이 외에도 다양한 답이 존재한다. 이를 직접 찾아보는 것도 재미있을 것 같다.

1. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 모두 더했을 때 자기 자신이 되는 수 [본문으로]