Problems and Solutions #024

Problem #024

(1) 아래 방정식을 만족하는 서로 다른 양의 정수쌍 $(a,b,c)$를 찾아라.

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$$

(2) 아래 방정식을 만족하는 서로 다른 양의 정수쌍 $(a,b,c,d,e)$를 찾아라.

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}=1$$

양의 정수 $6$과 $28$은 완전수(perfect number)

^[각주:1]이다. 즉, 아래 등식이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}6& =1+2+3\\ 28& =1+2+4+7+14\end{array}$$

위 사실을 이용하면 간단히 다음을 보일 수 있다.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+2+1}{6}=\frac{6}{6}=1$$

또한

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}=\frac{14+7+4+2+1}{28}=1$$

따라서 문제 (1)의 정답은 $(2,3,6)$, 문제 (2)의 정답은 $(2,4,7,14,28)$임을 알 수 있다. 물론, 이 외에도 다양한 답이 존재한다. 이를 직접 찾아보는 것도 재미있을 것 같다.

1. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 모두 더했을 때 자기 자신이 되는 수 [본문으로]