Problems and Solutions #023

Problem #023

$n$이 양의 정수라 하자. 만약 $2^n$이 $k$ 자리의 정수이면, $5^n$은 몇 자리의 정수일까?

우선 $2^n$이 $k$ 자리의 정수이므로,

\[ 10^{k-1} < 2^n < 10^k \]

가 성립한다. 이제 $5^n$이 $l$-자리의 정수라고 가정해 보자. 그러면,

\[ 10^{l-1} < 5^n < 10^l \]

의 부등식을 얻는다. 이제 위 두 부등식을 곱해주면

\[ 10^{k+l-2} < 10^n < 10^{k+l} \]

임을 알 수 있다. 따라서 $n=k+l-1$를 얻고 이를 $l$에 대해 정리하면 $l = n-k+1$를 얻는다. 그러므로 $5^n$은 $n-k+1$ 자리의 정수이다.