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Euclidean Jordan Algebra (2) - Decompositions
The following theorem gives us a spectral decomposition for the elements in an Euclidean Jordan algebra. Theorem 2. (Spectral decomposition theorem)Suppose $V$ is a Euclidean Jordan algebra with rank $r$. Then, for every $x \in V$, there exists a Jordan frame $\{e_1, \ldots, e_r\}$ and real numbers $\lambda_1(x), \ldots, \lambda_r(x)$ such that $x = \lambda_1(x)e_1 + \cdots \lambda_r(x) e_r$. Th..
Algebra/Abstract Algebra  |  2015. 3. 29. 11:22
Euclidean Jordan Algebra (1) - Definitions and Properties
A Euclidean Jordan algebra is a triple $(V, \circ, \left)$, where $(V, \left)$ is a finite dimensional inner product space over $\mathbb{R}$ and $(x,y) \mapsto x \circ y : V \times V \rightarrow V$ is a bilinear mapping satisfying the following conditions:$x \circ y = y \circ x$ for all $x,y \in V$.$x^2 \circ (x \circ y) = x \circ (x^2 \circ y)$ fo..
Algebra/Abstract Algebra  |  2015. 3. 29. 10:36
큰 수의 대하여 (7) - 수의 표기법 (영어)
이번에는 영어권 나라의 수의 표기법에 대해서 알아보자. 우선, 우리나라가 만단위로 수를 끊어 읽는 것과 달리, 영어권 나라에서는 수를 천단위로 끊어 읽는다. 또한 각 나라마다 수 자체를 읽는 방법은 다르지만, 크게 수를 끊어 읽는 방법에 따라 short scale과 long scale로 나눌 수 있다는것도 큰 차이점이다. 예를 들어, 대부분의 영어권 나라와 아랍어권 나라에서는 short scale을 이용하는 반면에 유럽과 남아메리카 지역의 나라는 long scale을 이용하고 있다.Short Scale: million(\(10^6\)) 이후의 나오는 새로운 수의 단위는 이전 단위의 천배이다. 예를 들어 billion은 thousand million(\(10^9\))을, trillion은 thousand ..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 10. 13. 08:07
큰 수에 대하여 (6) - 수의 표기법 (한국)
수에는 크게 보아 '하나,둘, 셋, ···' 또는 '일, 이, 삼, ···' 등과 같이 양 또는 크기를 나타내는 기수(cardinal number)와 '첫째, 둘째, 셋째, ···' 등과 같이 순서를 나타내는 서수(ordinal number)가 있다. 기수법에서 오늘날 우리가 수를 나타내는 방법은 아라비아 숫자를 사용하면 모든 나라에서 통한다. 그러나 읽는 방법은 제 각각이다. 수를 나타내는 다음과 같은 순수 우리말은 아래와 같다. 하나(1), 둘(2), 셋(3), 넷(4), 다섯(5), 여섯(6), 일곱(7), 여덟(8), 아홉(9), 열(10), 스물(20), 서른(30), 마흔(40), 쉰(50), 예순(60), 일흔(70), 여든(80), 아흔(90), 골(100), 즈믄(1000) 그러나, 오늘..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 9. 3. 12:14
큰 수에 대하여 (5) - 초거대 수학상수
이번 포스트에서는 실제로 수학의 증명에서 나타난 초거대 수학상수들에 대해 알아보고, 실제로 이 수가 얼마나 큰 수인지 가늠해보려고 한다. 제일 먼저 살펴볼 구골(Googol)등은 수학적으로 의미있는 상수는 아니지만(실제로 수학상수가 아니라 수를 표현하는 단위 중 하나이다), 워낙 유명하기 때문에(Google의 회사명이 Googol의 철자를 잘못 쓴 것에서 비롯되었다고 한다.) 함께 포함시켜 보았다. 1. 구골(Googol)과 구골플렉스(Googolplex) 구골(Googol)은 $10^{100}$, 다시 말해 1 뒤에 0이 100개 붙어 있는 수이다. 이 수의 이름은 1938년에 수학자 에드워드 카스너의 10살짜리 조카가 지었다고 한다. 1부터 70까지 순서대로 곱하면 (70!) 약 1.2 구골이 된다...
Algebra/Arithmetic  |  2014. 8. 20. 07:25
큰 수에 대하여 (3) - 크누스 윗화살표 표기법(Knuth's Up-Arrow Notation)
크누스 윗화살표 표기법(Knuth's up-arrow notation)은 매우 큰 정수를 표기하는 방법중의 하나로 크누스(Donald Knuth) 에 의해 1976년에 개발되었다. 곱셈은 덧셈의 반복연산, 거듭제곱은 곱셈의 반복연산이라는 사실에 착안하며, 거듭제곱의 반복연산 (테트레이션(tetration)), 테트레이션의 반복연산등을 쉽게 표기할 수 있는 방법 중 하나로써 개발되었다. 크누스 윗화살표 표기법의 간단한 설명하면 다음과 같다. 먼저 \(a\)의 \(n\) 거듭제곱을 \(a \uparrow n\)으로 나타낸다. 다시말해 \(a \uparrow n :=a^n\)으로 정의한다. 또한 \(a \uparrow \uparrow n\)은 \(a \uparrow n\)을 \(n\)회 반복시행한 것, 즉 테..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 8. 8. 11:28
큰 수에 대하여 (1) - 테트레이션(Tetration)의 정의
테트레이션(tetration)이란, 거듭제곱(exponential) 다음에 오는 4번째 하이퍼 연산자(hyper operator)로써,거듭제곱의 반복 연산으로 정의된다. 테트레이션이라는 용어는 4를 뜻하는 접두어 tetra와 반복을 뜻하는 iteration의 합성어로, 19세기 영국의 수학자 구스테인(Reuben Louis Goodstein)이 처음 명명하였다. 테트레이션을 설명하기 앞서 처음 세개의 하이퍼 연산자에 대해 알아보자. 0. 다음수(succession) \[ a' := a + 1 \] 1. 덧셈(Addition) : 다음수 연산의 \(n\)회 반복 \[ a+n := a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n\text{-times}} \] 2. 곱셈(Multiplic..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 8. 8. 09:12
평균(mean)에 대하여 (3) - 더욱 일반화된 평균
우리는 다양한 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean), 이차평균(quadratic mean)등의 다양한 평균들의 정의와 이를 아우르는 멱평균(power mean)의 개념에 대해 알아보고, 젠센부등식(Jensen's inequality)을 이용하여 산술-기하-조화평균 부등식을 증명해 보았다. 이번시간에는 멱평균을 더욱 일반화한 평균들에 대하여 알아보도록 하자. 우선 멱평균에 가중치(weight)를 부여한 가중치 멱평균(weighted power mean)에 대해 생각해 볼 수 있다. 양수 \(p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}\)이 \(\sum_{i=1}^{n}p_{i}=1\)를 만족한다고 하자. 그러면 \(a_{1},a..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 7. 26. 12:48
평균(mean)에 대하여 (2) - 젠센부등식과 이를 이용한 증명들
저번 포스트에서 다양한 방법으로 정의되는 평균들에 대한 소개와, 이를 한꺼번에 아우르는 멱평균(power mean)에 대해 살펴보았다. 또한 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리우는 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이에 성립하는 절대부등식을 소개하였다.\[\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n} \leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_{i}} \leq \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}} \]실제로 이 부등식은 \(n\)에 대한 수학적 귀납법(mathematical induction)을 이용하면 어렵지 않게 증명할 수 있다. 이번 포스트에서는 젠센부등식(Jensen's inequality)을 이용한 산술-기하-조화평균 부등식과 서로 다른 두 멱..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 7. 26. 12:40
평균(mean)에 대하여 (1) - 다양한 평균의 정의
중고등학교 과정에서 평균을 구하는 다양한 방법에 대하여 배운다. 이 중 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 그리고 조화평균(harmonic mean)이 가장 흔히 접하고 또한 응용도 많이 되는 평균들인데, 이들 평균들 사이에 절대부등식이 성립한다. 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리는 이 절대부등식은 다음과 같다. 모든 양수 \(a,b\)에 대하여,\[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \]이 부등식은 단순히 두 양수 \(a,b\)가 아닌, 임의의 \(n\)개의 양수 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\)에 대해서도 성립한다는 사실을 알 수 있다.\[\f..
Algebra/Arithmetic  |  2014. 7. 26. 04:03

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