'Algebra'에 해당되는 글 62건

환(ring)에서 체(field)까지 - 6. 몫환(Quotient ring)과 동형정리(isomorphism theorem)들
몫환(Quotient ring)과 동형정리(isomorphism theorem)들 정의 6.1 $I$를 환(ring) $R$의 아이디얼(ideal)이라 하고 $a \in R$라 하자. 그럼 $a$가 속하는 $I$의 잉여류(coset)란 $a + I = \set{a + s}{s \in I}$와 같은 형태의 집합을 말한다. 모든 잉여류들의 집합을 몫환(quotient ring)이라 하고 $R/I$와 같이 나타낸다. 참고. 이 정의는 군 이론에서의 잉여류의 정의와 같다. 군 이론에서의 경우와 같이, 잉여류들은 환의 서로소인 부분집합을 이룬다. 원소 $a$는 잉여류의 잉여류 대표원소(coset representative)라 한다. 각각의 잉여류들은 다양한 잉여류 대표원소를 가질 수 있다. 이 때, 두 원소 $a..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 5. 21. 02:21
환(ring)에서 체(field)까지 - 5. 환준동형사상(ring homomorphism)과 환동형사상(ring isomorphism)
환준동형사상(ring homomorphism)과 환동형사상(ring isomorphism) 이번에는 덧셈과 곱셈 연산을 보존하는 환에서 환으로의 사상(map)에 대해서 알아보도록 하자. 정의 5.1 $R$, $S$를 두 환(ring)이라 하자. 사상(map) $f : R \to S$이 임의의 $x,\, y \in R$에 대하여 \[ f(x + y) = f(x) + f(y), \quad f(xy) = f(x)f(y), \quad f(1_R) = 1_S \] 를 만족하면 이 사상을 환준동형사상(ring homomorphism)이라 한다. 참고. 이때 좌변의 덧셈 곱셈은 $R$에서, 우변의 덧셈 곱셈은 $S$에서 이루어진다. 모든 환준동형사상은 $(R,\, +)$에서 $(S,\, +)$로의 군준동형사상(gro..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 5. 18. 12:26
환(ring)에서 체(field)까지 - 4. 나눗셈 정리(division algorithm)와 유클리드 호제법(Euclid algorithm)
정리중...
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 5. 18. 12:08
환(ring)에서 체(field)까지 - 3. 부분환(subring)과 아이디얼(ideal)
부분환(subring)과 아이디얼(ideal) 정의 3.1 주어진 환 $R$의 부분환(subring) $S$란 $R$의 부분집합으로써 $R$에 주어진 연산에 대하여 환이 됨을 의미한다. 다시 말해, 임의의 $a,\, b \in S$에 대하여 $a - b,\, ab \in S$가 성립할 때 $S$를 $R$의 부분환이라 한다. 따라서 $S$는 뺄셈(subtraction)과 곱셈(multiplication)에 대하여 닫혀있음을 알 수 있다. 참고. 부분환에 대한 두번째 정의가 주어진 부분집합 $S$가 부분환이 됨을 보이는데 좀 더 유용하다. 왜냐하면 $S$의 원소들이 결합법칙(associativity)과 분배법칙(distributivity)을 만족해야 함을 보일 필요가 없기 때문이다. 예제 3.2 짝수 정수들..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 5. 18. 07:24
환(ring)에서 체(field)까지 - 2. 정역(integral domain)과 체(field)
정역(integral domain)과 체(field) 아래는 환의(ring) 두 특수한 형태이다. 정의 2.1 만약 $a,\, b$가 $a,\, b \neq 0$이고 $ab = 0$를 만족하는 환(ring)의 원소이면, $a$와 $b$ 를 영인자(zero-divisor)라 한다. 예제 2.2 환 $\Z_6$에 대하여, $2 \cdot 3 = 0$이 성립한다. 따라서 $2$와 $3$은 영인자이다. 일반적으로, $n$이 소수(prime)가 아니라면 $\Z_n$은 영인자를 갖는다. 정의 2.3 정역(integral domain)이란 영인자를 갖지 않는 단위원 ($1 \neq 0$)이 존재하는 가환환이다. 따라서 만약 $a\cdot b = 0$이면 항상 $a = 0$ 또는 $b = 0$를 얻는다. 예제 2.4 ..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 5. 17. 05:36
환(ring)에서 체(field)까지 - 1. 환(ring)
환(ring) 먼저 환(ring)의 정의부터 시작해 보도록 하자. 정의 1.1 환(ring)이란 아래의 공리들을 만족하는 이항연산(binary operation)이 정의 된 집합 $R$을 말한다: $R$은 연산 $+$에 대하여 가환군(Abelian group)을 이룬다. 즉, $R$은 연산 $+$에 대해 닫혀있고(closed), 연산 $+$는 결합법칙(associativity law)을 만족하며, $R$에 연산에 대한 항등원(identity)이 존재하고, $R$의 각각의 원소에 대하여 역원(inverse) 또한 존재하며, 마지막으로 $+$가 교환법칙(commutativity law)을 만족한다. ($R$은 연산 $\,\cdot\,$에 대해 닫혀있고,) 연산 $\,\cdot\,$은 결합법칙(associat..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 5. 17. 00:19
벡터공간에서의 교환법칙(commutativity law)
체(field) $\mathbb{F}$ 위에서의 벡터공간 (real vector space) $(\mathcal{V},\, +,\, \cdot\,)$이란 집합 $\mathcal{V}$와 함께 벡터합 (vector addition)이라 불리는 연산 $+ : \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ by $(x,\,y) \mapsto x+y$와 스칼라곱 (scalar multiplication)이라 불리는 연산 $\,\cdot\, : \mathbb{F} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ by $(\lambda,\,x) \mapsto \lambda x$이 정의 되어 아래의 8가지 공리를 만족하는 공간을 말한다. (A1) 모든 $x,\,..
Algebra/Linear Algebra  |  2016. 4. 7. 07:25
벡터공간(vector space)의 또 다른 예
실벡터공간 (real vector space)이란, 주어진 공간의 (벡터 (vector)라고 불리는) 임의의 원소들의 합과 임의의 원소의 실수배에 대하여 닫혀있는 공간을 말한다. 다시 말해 마음대로 두 원소를 더하거나 주어진 원소를 임의의 실수배 만큼 자유롭게 늘이거나 줄이는 것이 가능한 공간이다. 이 벡터 공간에 대한 재미있는 예가 있어서 이번에 소개해 보려고 한다. 실벡터공간 (vector space)의 정의와 예 먼저 실벡터공간에 대한 수학적인 정의에 대해서 살펴보자.정의. 실벡터공간 (real vector space) $(V,\, +,\, \cdot)$이란 집합 $V$와 함께 벡터합 (vector addition)이라 불리는 연산 $+ : V \times V \to V$ by $(x,\,y) \m..
Algebra/Linear Algebra  |  2016. 3. 2. 08:14
재미있는 증명 하나
이번에 증명하고자 하는 정리는, 정리의 내용 자체만으로도 흥미로울 뿐만 아니라, 정리를 증명하는 방법 또한 매우 신기해서 이곳에 그 내용을 정리해서 올려보고자 한다. 이 정리는 Quadratic Semidefinite Programming 분야에서 S-lemma라고 불리는 정리를 증명할 때에 보조정리로써 사용되는데, 그 내용은 다음과 같다. Theorem.두 행렬 $P$와 $Q$가 모두 $n \times n$ symmetric matrix라 하자. 만약 $\operatorname{tr}(P) \geq 0$ 이고 $\operatorname{tr}(Q) < 0$이면, $\bar{x}^{\top}P\bar{x} \geq 0$과 $\bar{x}^{\top}Q\bar{x} < 0$을 동시에 만족하는 $\bar{x..
Algebra/Matrix Algebra  |  2015. 11. 20. 06:49
Euclidean Jordan Algebra (3) - Linear Transformations
For any element $a \in V$, the Lyapunov transformation $L_a : V \rightarrow V$ and the quadratic representation $P_a : V \rightarrow V$ are defined as$$ \begin{aligned} L_a(x) & := a \circ x, \\ P_a(x) & := (2L_a^2 - L_{a^2})(x) = 2a \circ (a \circ x) - a^2 \circ x, \end{aligned} $$ for all $x \in V$. These transformations are linear and self-adjoint on $V$. In the following example, we describe..
Algebra/Abstract Algebra  |  2015. 3. 29. 11:36

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