'Mathematics'에 해당되는 글 547건

$\R^m$에서 $\R^n$으로의 전단사함수
이번 글의 목적은 $\R^m$에서 $\R^n$으로의 전단사함수(bijection)를 정의하는 것이다. 그러면 이 사실로부터 $\R^m$과 $\R^n$의 기수(cardinality)가 같음을 알 수 있다. [사실 이는 $\R \simeq 2^{\N}$이고 $\N \times \N \simeq \N$이라는 사실로부터 \[ \R^m \simeq (2^{\N})^m \simeq 2^{\N^m} \simeq 2^{\N} \simeq 2^{\N^n} \simeq (2^{\N})^n \simeq \R^n \] 와 같이 간단하게 유도할 수 있다.] 먼저 $f : \R^2 \to \R$이 $\R^2$에서 $\R$로의 전단사함수라 가정해보자. 그러면 $g(x,\, y,\, z) := f(f(x,\,y),\, z)$와 같이..
Foundations/Set Theory  |  2017. 3. 29. 04:05
집합에 대한 대수적, 해석적, 위상적 구조 다이어그램
원본 pdf 파일 다운로드 LaTeX 소스 파일 다운로드
Others/Visual Math  |  2017. 3. 24. 06:32
분리공리(Separation Axiom) 다이어그램
Others/Visual Math  |  2017. 3. 24. 06:30
벡터공간(Vector Space) 다이어그램
Others/Visual Math  |  2017. 3. 24. 06:29
순서(Order), 격자(Lattice) 다이어그램
Others/Visual Math  |  2017. 3. 24. 06:27
군(Group), 환(Ring), 체(Field) 다이어그램
Others/Visual Math  |  2017. 3. 24. 06:20
Problems and Solutions #023
Problem #023 $n$이 양의 정수라 하자. 만약 $2^n$이 $k$ 자리의 정수이면, $5^n$은 몇 자리의 정수일까? 우선 $2^n$이 $k$ 자리의 정수이므로,\[ 10^{k-1}
Others/Middle School Math  |  2017. 3. 2. 13:35
Problems and Solutions #022
Problem #022$m \times n$ (단, $m \leq n$) 크기의 격자가 있다고 하자. 이 격자에서 찾을 수 있는 '정사각형'은 모두 몇 개일까? 이 격자에서 찾을 수 있는 '직사각형'은 모두 몇 개일까? (1) 주어진 격자에서 찾을 수 있는 $1 \times 1$ 크기의 정사각형의 수는 모두 $mn$개이다. 또한 이 격자에서 찾을 수 있는 $2 \times 2$ 크기의 정사각형의 수는 모두 $(m-1)(n-1)$개이다. 일반적으로 $1 \leq k \leq m$에 대하여 $k \times k$ 크기의 정사각형의 수는\[ (m-k+1)(n-k+1) \]이 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 이 격자에서 찾을 수 있는 모든 정사각형의 개수는\[ \sum_{k=1}^{m} (m-k+1)(n-k..
Discrete Mathematics/Combinatorics  |  2017. 3. 1. 13:45
'소수의 제곱근은 유리수가 아니다'의 증명
$\sqrt{2}$가 무리수임은 매우 잘 알려져 있고, 그 증명 또한 매우 간단하다. 또한 이 증명법을 조금만 수정하면 임의의 소수 $p$에 대해서도 $\sqrt{p}$가 무리수임을 간단히 증명할 수 있다. 이번 글에서는 소인수분해의 유일성을 이용하여 임의의 소수 $p$에 대하여 $\sqrt{p}$가 무리수임 보이는 증명에 대해서 살펴보고자 한다. 먼저 산술의 기본정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)이라고도 불리는 소인수분해의 유일성에 대해서 살펴보자. 정리. 산술의 기본정리(Fundamental Theorem of Arithmetic) $1$이상의 모든 정수 $n$은 소수이거나 소수들의 곱으로 표현 (즉, 소인수분해를) 할 수 있다. 이 때, 인수들의 곱하는 순서를 무시하..
Algebra/Arithmetic  |  2017. 2. 23. 04:29
Problems and Solutions #021
Problem #021 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 $n$개의 연속한 합성수가 반드시 존재함을 보여라. 주어진 양의 정수 $n$과 양의 정수 $1 \leq k \leq n$에 대하여, $A_{n,k}$를 다음과 같이 정의하자. \[ A_{n,k} = (n+1)! + k + 1\] 만약 $A_{n,k}$가 모두 합성수임을 보일 수 있으면 증명이 완료된다. 이제 $A_{n,k}$를 정리하면 \[ A_{n,k} = (k+1) \left( \frac{(n+1)!}{k+1} + 1 \right) \] 위 식의 우변의 괄호 안의 식은 언제나 정수이고 $k+1 \geq 2$이므로, 모든 $1 \leq k \leq n$에 대하여 $A_{n,k}$는 합성수임을 알 수 있다.
Others/Olympiad  |  2017. 2. 23. 02:31

티스토리툴바