'소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 또 다른 증명

예전에 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명을 올린 적이 있다.

http://jjycjnmath.tistory.com/338

위 글의 증명은 소인수분해의 유일성을 이용한 증명이었는데, 이번 글에서는 또 다른 방법으로 이 명제를 증명하고자 한다. 아래의 증명에서 주어진 실수 $x$가 자연수가 아닐 때, 적당한 자연수 $k$에 대하여 $k < x < k+1$로 나타낼 수 있음을 증명 없이 받아 들였는데, 이는 아르키메데스 성질(Archimedean property)과 자연수의 정렬성(well-ordering principle)를 이용하여 간단히 증명할 수 있다.

정리.

임의의 소수 $p$에 대하여 $\sqrt{p}$는 무리수이다.

증명. 먼저 $\sqrt{p}$는 절대로 자연수가 될 수 없다. 만약 적당한 자연수 $k$에 대하여, $\sqrt{p} = k$라면 $p = k^2$가 되어 $p$가 소수라는 사실에 모순이 생긴다. 따라서 적당한 자연수 $k$에 대하여, $k < \sqrt{p} < k+1$임을 알 수 있다. 이제 (가능하다면) $\sqrt{p}$가 유리수라 가정해 보자. 그러면 $m\sqrt{p}$가 자연수가 되게 하는 최소 자연수 $m$이 존재한다. 이제 $n := m(\sqrt{p}-k)$로 정의하자. 그러면 $0 < \sqrt{p}-k < 1$이기 때문에, $0 < n < m$이 성립한다. 또한

\[ n = m(\sqrt{p}-k) = m\sqrt{p} - mk \]

이므로 $n$이 자연수임을 알 수 있다. 이제 $n\sqrt{p}$의 값을 계산해 보면

\[ 0 < n\sqrt{p} = m(\sqrt{p}-k)\sqrt{p} = mp - mk\sqrt{p} \]

를 얻는다. 이 때, $mp$와 $mk\sqrt{p}$가 모두 자연수이므로 $n\sqrt{p}$ 또한 자연수임을 알 수 있다. 따라서 $m$의 최소성에 모순이 생기고 $\sqrt{p}$는 무리수여야만 한다.