Problems and Solution #045

Problem #045

다음 방정식을 만족하는 $x$의 값을 구하여라.

\[ \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{x-1} = \left( 1 - \frac{1}{2018} \right)^{2018} \]

위 방정식의 좌변에 $x=1-y$로 치환을 하면,

\[ \begin{align*} \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{x-1} &= \left( 1 - \frac{1}{1-y} \right)^{-y} = \left( \frac{-y}{1-y} \right)^{-y} \\[5px] &= \left( \frac{y}{y-1} \right)^{-y} = \left( \frac{y-1}{y} \right)^{y} = \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^{y} \end{align*} \]

임을 알 수 있다. 따라서

\[ \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^{y} = \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{x-1} = \left( 1 - \frac{1}{2018} \right)^{2018} \]

이고 $y=2018$을 얻는다. 따라서 $x=1-y = -2017$.