Construction of Measure (4) 카라테오도리 확장정리(Caratheodory Extension Theorem)
저번 글에서는 적당한 조건을 만족하는 집합족 $\mathcal{E}$와 함수 $\rho : \mathcal{E} \to [0,\,\infty]$로부터 외측도 $\mu^* : X \to 2^X$를 구성하고, 이 외측도로부터 카라테오도리 구성(Caratheodory construction)을 통하여 $\sigma$-대수 $\mathcal{A}$와 완비측도 $\mu$를 구성하는 방법에 대해서 알아보았다. 하지만 이렇게 구성한 측도 $\mu$가 함수 $\rho$의 자연스러운 확장일까? 다시 말해 임의의 $E \in \mathcal{E}$에 대하여 $\rho(E)$와 $\mu(E)$가 같다고 할 수 있을까? 아래의 예제를 살펴보자. 예제 4.1 집합 $X = \{1,\,2,\,3\}$와 집합족 $\mathcal{..