Problems and Solutions #020
Problem #020 방정식 $n^m = m^n$의 자명하지 않은 모든 양의 정수해를 구하여라. 우선 $n=m$이면 주어진 방정식이 성립함은 자명하다. 따라서 $n \neq m$을 가정하고, 편의상 $0 < n < m$이라 하자. 이제 주어진 방정식의 양변에 로그를 취하면 \[ m \log n = n \log m \quad \iff \quad \frac{\log n}{n} = \frac{\log m}{m} \] 을 얻는다. 이제 이 공통된 값을 $k$라 하면, 아래의 방정식 \[ f(x) := \frac{\log x}{x} = k \] 은 적어도 두개 이상의 서로 다른 근을 가져야만 한다. 하지만 $f'(x) = (1 - \log x)/x^2$이므로 함수 $f$는 구간 $(0,\, e)$에서 증가이고 ..