Problems and Solutions #029
Problem #029 $n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$이 완전제곱수가 되게 하는 모든 정수 $n$을 구하여라. 식을 간단히 하기 위하여, $f(n) := n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$로 정의하자. 또한 \begin{align*} a(n) &:= (2n^2 + n)^2 = 4n^2 + 4n^3 + n^2, \\ b(n) &:= (2n^2 + n + 1)^2 = 4n^4 + 4n^3 + 5n^2 + 2n + 1 \end{align*} 로 각각 정의하면, 간단한 계산을 통해 \[ 4f(n) - a(n) = 3n^2 + 4n + 4 = 2n^2 + (n+2)^2 > 0 \] 를 얻는다. 또한 $-1 < n < 3$인 경우, \[ b(n) - 4f(n) = n^2 - 2n - 3 = ..