jjycjn's Math Storehouse

$\sqrt{2}$는 무리수이다. 오일러 상수 $e$는 무리수이다. 원주율 $\pi$는 무리수이다. 정리 원주율 $\pi$는 무리수(irrational)이다. 증명. 모순을 이끌어 내기 위해 원주율 $\pi$가 유리수(rational number)라고 가정해보자. 즉, 서로소인 두 정수 $a,\,b$가 존재하여 $e = \frac{a}{b}$ 라고 나타낼 수 있다고 가정해보자. 이제 임의의 자연수 $n$에 대하여 아래와 같은 함수를 정의한다.\[ f(x) = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!}. \]그러면 함수의 정의에 의해 $f(0) = 0$이고 \[ \begin{aligned} f(\pi-x) &= \frac{(\pi-x)^n(a-b(\pi-x))^n}{n!} = \frac{(\frac{a}{b..

$\sqrt{2}$는 무리수이다. 오일러 상수 $e$는 무리수이다. 원주율 $\pi$는 무리수이다. 정리 오일러 상수 $e$는 무리수(irrational)이다. 증명. 먼저 $e$의 급수전개(series expansion)에 대해 살펴보자. \[ S_n := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{k!} + \cdots. \] 이 급수전개에 대한 $n$번 째 부분합(partial sum)을 아래와 같이 정의한다. \[ S_n := \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{..

$\sqrt{2}$는 무리수이다. 오일러 상수 $e$는 무리수이다. 원주율 $\pi$는 무리수이다. 정리 $\sqrt{2}$는 무리수(irrational)이다. 증명. 일단 $\sqrt{2}$가 유리수라고 가정해보자. 그러면 서로소인 정수 $a,\,b$가 존재하여 $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ 로 나타낼 수 있다. 이제 이 식의 양변을 제곱하면, $2 = \frac{a^2}{b^2}$이고 따라서 $2b^2 = a^2$이 되어 $a^2$이 짝수 임을 알 수 있다. 여기서 만약 $a$가 홀수라면 $a^2$ 또한 홀수가 되므로, $a$는 짝수여야만 한다. 이제 $a=2c$로 나타내 보자. 그러면, $2b^2 = a^2 = (2c)^2 = 4c^2$이 되고 정리하면 $b^2 = 2c^2$을 얻는다..