Problems and Solutions #026
Problem #026 임의의 정수 $m \in \mathbb{Z}$에 대하여, \[ \prod_{k=1}^{\infty} \cos ( m 2^{-k} ) \] 의 값을 구하여라. 우선 $m=0$인 경우, 주어진 무한곱의 값은 자명하게 $1$이 된다. 이제 $m \neq 0$이라 가정하자. 주어진 무한곱의 부분곱 $P_n$을 아래와 같이 정의하자. \[ P_n := \prod_{k=1}^{n} \cos ( m 2^{-k} ). \] 삼각함수에 관한 항등식 $\sin(2 \theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$를 이용하여 $P_n$을 정리하면, \begin{align*} P_n &= \prod_{k=1}^{n} \frac{\sin ( m 2^{-k+1} )}{\sin ( m 2^{..