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평균값 정리(mean value theorem)의 다양한 변형
평균값 정리(mean value theorem)는 두 점을 잇는 잘 정의된 곡선에 대하여, 이 곡선의 양 끝 점을 잇는 할선과 평행한 접선이 반드시 존재함을 알려 준다. 이 정리를 수학적으로 다시 적으면 다음과 같다. 정리. 라그랑주의 평균값 정리(Lagrange's mean value theorem) 적당한 두 실수 $a < b$에 대하여, 함수 $f$가 닫힌 구간 $[a,\, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a,\, b)$에서 미분가능하다고 하자. 그러면 \[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] 를 만족하는 점 $c \in (a,\, b)$가 적어도 하나 존재한다. 평균값 정리는 보통 롤의 정리(Rolle's theorem)을 이용하여 증명한다. 롤의 정리 또한 평균값..
Analysis/Real Analysis  |  2020. 3. 6. 22:35
주어진 함수가 도함수(derivative)가 될 필요/충분 조건
실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 실함수 $F : I \to \R$가 존재하여, 모든 $x \in I$에 대하여 $f(x) = F'(x)$를 만족할 때, $f$를 $F$의 도함수(derivative)라 한다. 이 때, 주어진 함수 $f$가 도함수가 될 (상대적으로 간단한) 필요/충분조건을 찾는 것은 수학에서 오래된 문제 중의 하나이다. $ $ 실함수 $f$가 도함수가 될 충분조건 - 연속성 우선 $f$가 도함수가 될 충분조건이 $f$가 연속(continuous)이라는 사실은 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 통해서 알 수 있다.$ $ 정리. 미적분학의 기본정리 1(fundamental theorem of ..
Analysis/Real Analysis  |  2019. 4. 24. 16:39
대합(involution)과 유사대합(quasi-involution)에 대하여
실함수 $f : I \subset \R \to I$가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 $x \in I$에 대하여 \[ f(f(x)) = x \quad \text{or} \quad f(x) = f^{-1}(x) \] 가 성립하면, 함수 $f$를 대합(involution)이라 정의한다. 즉, 대합이란 자기 자신을 역함수로 가지는 함수를 뜻한다. 항등함수 $i(x) = x$는 자명하게 대합이다. 또한 임의의 실수 $c \in \R$에 대하여, $f(x) = c-x$, $g(x) = \frac{c}{x}$와 같이 정의된 함수들은 모두 대합임을 알 수 있다. \[ f(f(x)) = f(c-x) = c-(c-x) = x, \qquad g(g(x)) = g(\tfrac{c}{x}) = \frac{c}{\tfrac{c}..
Analysis/Real Analysis  |  2018. 12. 30. 00:11
편도함수가 모두 같은 함수
$U \subset \R^n$이 열린 볼록집합(open convex set)이라 하자. 이제 $U$ 위에서 주어진 벡터 함수 $F : U \to \R$의 편도함수가 모두 연속이고 \[ \partial_1 F(\vec{x}) = \partial_1 F(\vec{x}) = \cdots = \partial_1 F(\vec{x}), \quad \forall \; \vec{x} \in U \tag*{$(\ast)$} \] 가 성립한다고 하자. 이 때, $F$에 관해서 어떤 이야기를 할 수 있을까? 정리. 열린 볼록집합 $U \subset \R^n$위에서 정의된 함수 $F : U \to \R$의 편도함수가 모두 연속이고 $(\ast)$를 만족한다고 하자. 그러면 함수 $G : V \subset \R \to \R$가..
Analysis/Real Analysis  |  2018. 4. 5. 01:15
$3$-주기점(period-$3$ point)은 혼돈(chaos)을 야기한다
닫힌 구간 $I$ 위에서 연속인 함수 $f: I \to I$에 대하여 다음을 정의하자. 정의 1. 정수 $m \geq 1$에 대하여, $f^m(a) = a$이지만 모든 $1 \leq i < m$에 대하여 $f^i(a) \neq a$ 을 만족하는 점 $a \in I$가 존재하면, $a$를 $f$의 $m$-주기점(period-$m$ point)이라 한다. 특히 $m=1$인 경우, $a$를 $f$의 고정점(fixed point)이라 한다. 이제 주어진 두 정수 $m \neq n,$에 대하여 $f$가 $m$-주기점을 가질 때, 언제나 $n$-주기점을 가지는지에 대한 질문에 대해 생각해 볼 수 있다. 예를 들어 $m=1$이고 $n=2$인 경우, 위 질문에 대한 대답은 '아니오'이다. 함수 $f(x) = x$를 생..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 12. 18. 11:24
모든 유리수점에서 연속이고 모든 무리수점에서 불연속인 함수
지난 글에서 토매 함수(Thomae function)이라 불리는 함수를 정의하고, 이 함수가 모든 유리수점에서 불연속이고 모든 무리수점에서 연속인 함수임을 보였다. 이 관찰을 바탕으로 다음과 같은 자연스러운 질문을 던질 수 있다.모든 유리수점에서 연속이고 모든 무리수점에서 불연속인 함수가 존재하는가?이번 글에서는 위와 같은 성질을 만족하는 함수는 존재할 수 없음을 증명하고자 한다. 모든 유리수점에서 연속이고 모든 무리수점에서 불연속인 함수먼저 실함수 $f : \R \to \R$이 주어졌다고 하자. 이제 집합 $D(f)$를 $f$가 불연속이 되게 하는 점들의 집합으로 정의하자. 즉, \[ D(f) = \set{c \in \R}{\text{$f$ is not continuous at $c$}} \] 로 정의..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 9. 15. 01:47
토매 함수(Thomae function)에 대하여
디리클레 함수(Dirichelet function)란 모든 점에서 불연속인 함수의 한 예로써, 다음과 같이 정의되는 함수이다.\[ f(x) = \begin{cases} 0, \quad & \text{if $x \notin \Q$} \\ 1, \quad & \text{if $x \in \Q$} \end{cases} \]이 함수가 모든 점에서 불연속임은 유리수와 무리수의 조밀성을 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 토매 함수(Thomae function)이제 위 함수의 변형인 토매 함수(Thomae function)에 대해 살펴보자. 먼저 토매 함수의 정의는 다음과 같다. 정의. 토매 함수(Thomae function) 토매 함수(Thomae function)는 다음과 같이 정의되는 함수를 말한다.\[ f(..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 9. 14. 06:24
슈톨츠-체사로 정리(Stolz–Cesaro theorem)
해석학에서, 슈톨츠-체사로 정리(Stolz–Cesaro theorem)는 두 수열 $a_n$과 $b_n$의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 이는 체사로 평균(Cesaro mean)의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈 정리(L'hospital theorem)의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 슈톨츠-체사로 정리는 로피탈 정리에서의 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을 사용한다. 정리 1. 슈톨츠-체사로 정리(Stolz–Cesaro theorem) $\langle a_n\rangle$이 임의의 실수열이라 하고, $\langle b_n\rangle $은 양의 무한대로 발산하는 순증가수열(strictly increasing sequence)이라 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. \begi..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 7. 9. 09:07
'소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 또 다른 증명
예전에 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명을 올린 적이 있다. http://jjycjnmath.tistory.com/338 위 글의 증명은 소인수분해의 유일성을 이용한 증명이었는데, 이번 글에서는 또 다른 방법으로 이 명제를 증명하고자 한다. 아래의 증명에서 주어진 실수 $x$가 자연수가 아닐 때, 적당한 자연수 $k$에 대하여 $k < x < k+1$로 나타낼 수 있음을 증명 없이 받아 들였는데, 이는 아르키메데스 성질(Archimedean property)과 자연수의 정렬성(well-ordering principle)를 이용하여 간단히 증명할 수 있다. 정리. 임의의 소수 $p$에 대하여 $\sqrt{p}$는 무리수이다. 증명. 먼저 $\sqrt{p}$는 절대로 자연수가 될 수 없다. 만..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 6. 28. 23:17
[퍼온글] 라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/14/1490http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/20/1511 아래와 같은 형태의 급수의 값\[ L := \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} \]은 잘 알려져 있는 사실이다. 이 급수는 라이프니츠 급수(Leibniz series)라는 이름으로 불리운다. 또한 이 급수의 수렴속도가 매우 느리다는 사실 또한 잘 알려져 있는데, 수렴 속도가 어느정도인지 알아보기 위해서 급수를 첫째 항 부터 50..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 6. 3. 05:40

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