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신의 수(God's number)에 대하여
루빅스 큐브는 헝가리 조각가이자 교수인 에르뇌 루빅 (Rubik Ernő) 교수가 1974년에 발명한 3x3x3 정육면체 모양의 퍼즐이다. 이 퍼즐의 발명 이후, 루빅스 큐브는 전세계적으로 많은 사랑을 받아 왔다. 수학자들 또한 루빅스 큐브에 대해 많은 관심을 가져왔는데, 그들이 관심을 가졌던 루빅스 큐브의 중요한 성질 중의 하나는, 루빅스 큐브의 회전변환들의 집합이 가지는 군(group)의 성질이다. 그리고 또 하나의 중요한 관심사가 바로 이번 글에서 설명할 루빅스 큐브의 신의 수(God's number)이다. 신의 수(God's number) 루빅스 큐브에 조금 관심이 있는 사람이라면, 루빅스 큐브로 만들 수 있는 모든 배열의 경우의 수는\[ 43,252,003,274,489,856,000 \]개라는..
Puzzles/Rubiks Cube  |  2017. 6. 10. 05:27
Problems and Solutions #029
Problem #029 $n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$이 완전제곱수가 되게 하는 모든 정수 $n$을 구하여라. 식을 간단히 하기 위하여, $f(n) := n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$로 정의하자. 또한 \begin{align*} a(n) &:= (2n^2 + n)^2 = 4n^2 + 4n^3 + n^2, \\ b(n) &:= (2n^2 + n + 1)^2 = 4n^4 + 4n^3 + 5n^2 + 2n + 1 \end{align*} 로 각각 정의하면, 간단한 계산을 통해 \[ 4f(n) - a(n) = 3n^2 + 4n + 4 = 2n^2 + (n+2)^2 > 0 \] 를 얻는다. 또한 $-1 < n < 3$인 경우, \[ b(n) - 4f(n) = n^2 - 2n - 3 = ..
Others/Olympiad  |  2017. 6. 7. 21:51
Problems and Solutions #028
Problem #028적당한 각 $\theta$에 대하여, 다음의 식이 성립한다고 가정하자. \[ \tan \theta + \sec \theta = 2017. \tag*{$(\ast)$} \] 이 때, $\cot \theta + \csc \theta$의 값을 구하여라. 먼저 식 $(\ast)$의 양변에 $\tan \theta - \sec \theta$를 곱해주면,\begin{align*} 2017(\tan \theta - \sec \theta) &= (\tan \theta + \sec \theta)(\tan \theta - \sec \theta) \\ &= \tan^2 \theta - \sec^2 \theta \\ &= -1 \end{align*}을 얻는다. 위 식을 정리하면,\[ \sec \theta ..
Others/High School Math  |  2017. 6. 6. 01:08
교란순열(derangement)에 대하여
이번 글에서는 아래와 같은 형태의 문제에 대해서 생각해 볼 것이다. 목욕탕에 $n$명의 사람이 있다고 하자. 이 때, 몇 사람씩 그룹을 만들어 동그랗게 서서 서로가 앞사람의 등을 밀어주는 경우의 수 $D_n$은 얼마인가? 단, 혼자서 자기 등을 밀 수는 없다. 예를 들어 1, 2, 3, 4 네 사람이 있는 경우를 생각해 보자. 말을 줄이기 위해 기호를 하나 정의한다. 예를 들어, (213)와 같이 표현하는 것은 이라는 것은 2는 1의 등을 밀고, 1는 3의 등을 밀고, 3은 2의 등일 밀어 주는 것을 의미한다고 하자. 그러면 1,2,3,4 네 명이서 서로 등을 밀어 주는 경우의 수는 다음과 같이 셀 수 있다. \[ (1234),\; (1243),\; (1324),\; (1342),\; (1423),\; ..
Others/High School Math  |  2017. 6. 3. 08:24
[퍼온글] 라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/14/1490http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/20/1511 아래와 같은 형태의 급수의 값\[ L := \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} \]은 잘 알려져 있는 사실이다. 이 급수는 라이프니츠 급수(Leibniz series)라는 이름으로 불리운다. 또한 이 급수의 수렴속도가 매우 느리다는 사실 또한 잘 알려져 있는데, 수렴 속도가 어느정도인지 알아보기 위해서 급수를 첫째 항 부터 50..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 6. 3. 05:40
[퍼온글] 드무아브르의 중심극한정리(de Moivre's central limit theorem)
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/06/680 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/686 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/687 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/14/688 드무아브르의 중심극한정리 대학민국 고등학교 수학의 통계 부분에서 다음과 같이 말하면서 증명하지 않고 은근슬쩍 넘어가는 것이 있다. 확률변수 $X$가 이항분포 $B(n,\, p)$를 따를 때, $n$이 충분히 크면 $X$의 분포는 근사적으로 정규분포 $N(np,\, npq)$를 따른다는 것이 알려져 있다. 고등학교 교과서에서도 '중심극한정리(cent..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 5. 26. 01:37
최대최소 정리 - 3. 사이온의 최대최소 정리(Sion's Minimax Theorem)
이번 글의 목적은, 게임 이론에서 폰 노이만(John Von Neumann, 1903-1957)의 최대최소 정리(Minimax Theorem)의 조건을 좀 더 일반화 한 사이온(Maurice Sion)의 최대최소 정리에 대해 알아보고 이를 KKM 사상(Knaster-Duratowski-Mazurkiewicz map)과 Ky Fan의 동시발생 정리(Ky Fan's Conincidence Theorem)을 이용하여 증명하는 것이다. 사이온의 최대최소 정리(Sion's Minimax Theorem) 정의 3.1. 반연속 함수(semi-continuous function) $X$가 선형위상공간(linear topological space)이라 하자. 함수 $f: X \to \R$에 대하여 임의의 $r \in \..
Applied Mathematics/Game Theory  |  2017. 5. 12. 01:11
최대최소 정리 - 2. KKM 사상과 Ky Fan의 정리
이번 글의 목적은, 게임 이론에서 폰 노이만(John Von Neumann, 1903-1957)의 최대최소 정리(Minimax Theorem)의 조건을 좀 더 일반화 한 사이온(Maurice Sion)의 최대최소 정리에 대해 알아보고 이를 KKM 사상(Knaster-Duratowski-Mazurkiewicz map)과 Ky Fan의 동시발생 정리(Ky Fan's Conincidence Theorem)을 이용하여 증명하는 것이다. KKM 사상과 Ky Fan의 정리 정의 2.1. 유한닫힌집합(finitely closed set) 집합 $A \subseteq X$에 대하여, $A$와 $X$의 임의의 유한차원 아핀 부분공간(affine subspace) $L$과의 교집합 $A \cap L$이 ($L$의 위상에서..
Applied Mathematics/Game Theory  |  2017. 5. 12. 01:05
최대최소 정리 - 1. 폰 노이만의 최대최소 정리(Von Neumann's Minimax Theorem)
이번 글의 목적은, 게임 이론에서 폰 노이만(John Von Neumann, 1903-1957)의 최대최소 정리(Minimax Theorem)의 조건을 좀 더 일반화 한 사이온(Maurice Sion)의 최대최소 정리에 대해 알아보고 이를 KKM 사상(Knaster-Duratowski-Mazurkiewicz map)과 Ky Fan의 동시발생 정리(Ky Fan's Conincidence Theorem)을 이용하여 증명하는 것이다. 폰 노이만의 최대최소 정리(Von Neumann's Minimax Theorem) 게임 이론에서 폰 노이만은 유한 2인 영합 게임(finite two-person zero-sum game)에서는 언제나 최적의 혼합전략(mixed strategy)이 존재한다 사실을 그의 최대최소 ..
Applied Mathematics/Game Theory  |  2017. 5. 12. 00:55
자연로그를 거듭제곱근을 포함한 식의 극한을 이용한 표현
이번에 설명할 공식은 영국의 천문학자이자 수학자 에드몬드 핼리(Edmond Halley)가 발견한 자연로그를 거듭제곱근을 포함한 식의 극한으로 표현하는 방법이다. 정리. 임의의 $x>0$에 대하여 다음이 성립한다.\[ \ln{x} = \lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{x}-1) \] 증명. 이 증명의 핵심은 거듭제곱근을 $e$의 거듭제곱의 형태로 나타낸 뒤, 지수함수의 급수전개를 이용하는 것이다. 즉, 다음을 얻는다.\begin{align*} n(\sqrt[n]{x}-1) &= n\left( e^{\frac{\ln{x}}{n}}-1 \right) \\ &= n\left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\ln{x}/n)^{k})}{k!} -1 \right) \\ &=..
Others/High School Math  |  2017. 5. 5. 02:29

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