jjycjn's Math Storehouse

Problem #006 $2^n$의 첫 네자리의 숫자가 $2016$이 되게 하는 $n$이 존재함을 보여라. 위 문제에 대한 증명은 http://jjycjnmath.tistory.com/265에서 확인할 수 있다. 이 증명에 따르면 위 문제의 조건을 만족하는 $n$의 존재성은 알 수 있지만 실제로 어떻게 $n$을 구할 수 있는지는 알 수가 없다. 그래서 Matlab을 이용하여 $n$을 구하는 알고리즘을 작성해 보았다. 코드는 다음과 같다. n=10; a=1024; b=0; while b ~= 2016 n = n+1; a = 2*a; % a = 2^n % number a를 string으로 변환한 뒤 첫 4개의 숫자만을 호출 c = num2str(a); b = str2num(c(1:4)); if a > 10^..

Problem #006 $2^n$의 첫 네자리의 숫자가 $2016$이 되게 하는 $n$이 존재함을 보여라. ※ 위 문제는 임의의 $k$자리 양의 정수 $x$에 대하여 $2^n$의 첫 $k$ 자리의 숫자가 $x$가 되게 하는 $n$의 존재성을 증명하는 문제로 확장 가능하다. (또한 이제부터 보일 증명과 같은 방법으로 증명할 수 있다.) 위 문제는 아래의 부등식을 만족하는 양의 정수 $m,\,n$을 찾는 문제와 같다. \[ 2016 \cdot 10^m \leq 2^n < 2017 \cdot 10^m \] 위 식의 양변에 밑이 $10$인 로그를 취하면 \[ m + \log 2016 \leq n \log 2 < m + \log 2017 \] 이제 임의의 $x$에 대하여 $\{x\}$를 $x$의 소수부분, 즉, ..