'2016/09'에 해당되는 글 22건

[퍼온글] 삼각치환에서 타원적분으로
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2009/08/19/1428 $R(x,\, y)$는 $x,\, y$의 유리함수라고 가정하자. 삼각치환을 통한 적분 계산법을 간단히 정리해보자. $R(\cos x,\, \sin x)$의 적분: 다음과 같은 치환적분을 이용한다. \[ \begin{aligned} & t = \tan \frac{x}{2}, \quad \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}, \quad \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ & \quad \implies \int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \fr..
Others/Articles  |  2016. 9. 29. 10:55
[퍼온글] 초등학생들의 꿈 - Farey Series
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/18/594 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/23/613 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/05/08/642 수학에는 Freshman's dream(대학생 1학년의 꿈)이라는 것이 있다. 일반적으로 $(a+b)^n = a^n + b^n$이라는 등식은 참이 아니지만, 표수(characteristic)가 p인 유한체(finite field)에서는 다음의 수식이 성립한다. \[ (a+b)^p = a^p+b^p \] 이제 초등학교 시절로 돌아가 보자. 초등학생들이 분수의 덧셈을 처음 배울 때, 여러가지 어려운 점들이 등장하게 된다. 통분을 해야 하..
Others/Articles  |  2016. 9. 29. 09:05
[퍼온글] 라마누잔과 1729
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2008/08/09/708 오늘은 라마누잔의 $1729$라는 숫자에 대한 얘기인데, $1729$라는 숫자가 라마누잔의 눈에 들어올 수 있었던 수학적인 배경에 대해 말하고자 한다. 먼저 하디의 회고를 살펴보자. 그(라마누잔)가 아파서 Putney(런던의 남서부 지구)에 있을 때 찾아갔던 일을 기억한다. 나는 번호판이 1729인 택시를 탔는데 이 숫자가 무지하게 평범한 숫자[dull one]이라는 걸 깨닫고는, 이것이 불길한 징조가 아니길 바랬다. "아니야" 라고 그가 대답하면서 "매우 흥미로운 숫자이지. 그것은 두 개의 세제곱수로 나타내는 방법이 두 가지인 최소의 자연수이거든."이라고 말했다. 다시 말해 \[ 1729=12^3+1^3..
Foundations/History of Math  |  2016. 9. 29. 04:16
Harmonic Twist
겹겹이 쌓여있는 나무 판자들이 서로 다른 속력으로 회전 시킨다: 가장 아래쪽에 있는 첫번째 나무 판자의 속력을 기준으로, 두번째 나무 판자는 두배의 속력으로, 세번째 나무 판자는 세배의 속력으로 등등... 이 쌓여진 판자들이 연속적으로 움직인 결과, 전체적인 나무판자들의 구조에 질서와 무질서가 반복적으로 나타난다.※ 출처 - http://beautyandthemaths.tumblr.com/
Others/Visual Math  |  2016. 9. 28. 05:17
다섯 원 정리(Five Circle Theorem)
정리. 다섯 원 정리(Five Circle Theorem)사슬 형태로 서로 겹쳐져 있는 다섯개의 원의 중점이 여섯번째 원 위에 놓여져 있고, 이 다섯 원들의 교점 또한 여섯번째 원 위에 놓여져 있으면, 다섯 원들의 또 다른 교점을 이어 만든 별모양(pentagram) 도형의 각 꼭지점은 모두 각각의 다섯 원 위에 놓여진다. ※ 출처 - http://szimmetria-airtemmizs.tumblr.com/
Others/Visual Math  |  2016. 9. 28. 05:06
불가능한 도형
※ 출처 - http://szimmetria-airtemmizs.tumblr.com/
Others/Visual Math  |  2016. 9. 28. 04:56
극값 정리의 조건 완화 (2) 연속성(Continuity)
저번 글에서는 극값 정리의 조건 중 제약집합(constraint set)의 긴밀성(compactness)를 완화하는 방법에 대해서 살펴보았다. 이번 글에서는 극값 정리의 조건 중 목적함수(objective function)의 연속성(continuity)를 완화하는 방법에 대해서 살펴보고자 한다. 목적함수 $f$의 연속성(continuity) 먼저 연속성보다 약한 조건인 반연속성(semi-continuity)를 정의하자. 정의 2.1 (Lower Semi-continuity) 함수 $f: \R^n \to \R$에 대하여, $f$가 아래의 두 동치인 조건 (1) 또는 (2) 중 하나를 만족하면 $x^*$로 수렴하는 임의의 수열 $(x_n)$에 대하여 \[ f(x^*) \leq \liminf_n f(x_n)...
Applied Mathematics/Optimization  |  2016. 9. 28. 04:45
극값 정리의 조건 완화 (1) 긴밀성(Compactness)
실해석학에서 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 정리는 아래와 같다. 정리 (극값 정리 또는 최대-최소 정리) 집합 $E \subseteq \R^n$를 긴밀집합(compact set)이라 하고 함수 $f : E \to \R$가 연속함수(continuous function)라 하자. 그러면 함수 $f$는 집합 $E$ 안에서 언제나 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)을 갖는다. 다시 말해, 임의의 $x \in E$에 대하여 $f(x^*) \leq f(x) \leq f(y^*) $를 만족하는 $x^*,\, y^* \in E$가 존재한다. 이 정리에서 중요한 사실은 주어진 집합 $E$의 긴밀성(compactness)과 ..
Applied Mathematics/Optimization  |  2016. 9. 23. 05:19
Construction of Measure (3) 카라테오도리 구성(Catatheodory Construction)
저번 글에서는 임의의 공간 $X$ 위에서 외측도(outer measure) $\mu^*$를 구성하는 방법에 대해서 알아보았다. 앞서 확인해 보았듯이, 일반적으로 외측도 $\mu^*$는 $2^X$ 위에서 측도가 아니다. 이번 글에서는 $X$ 위에서 정의된 임의의 외측도 $\mu^*$ 를 바탕으로 $X$ 위의 $\sigma$-대수($\sigma$-algebra) $\mathcal{A}$를 정의하여, $\mu = \mu^*|_{\mathcal{A}}$가 $(X,\, \mathcal{A})$ 위에서 완비측도(complete measure)가 되게끔 하고자 한다. $X$ 위에 주어진 측도로부터 완비측도공간을 구성하는 방법을 카라테오도리 구성(Catatheodory Construction)이라 한다. 카라테오도리 ..
Analysis/Measure Theory  |  2016. 9. 22. 04:56
Construction of Measure (2) 외측도(Outer Measure)의 구성
공간 $X$가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 "공리적으로" $X$ 위의 $\sigma$-대수($\sigma$-algebra)를 정의하고, 가측공간(measurable space) $(X,\, \mathcal{A})$ 위에서 측도(meausre) $\mu$를 정의할 수 있음을 배운다. 또한 간단한 몇 가지 측도공간(measure space)의 예를 살펴보면서, $\sigma$-대수와 측도라는 개념이 그저 수학자들의 상상력의 산물이 아닌 실존하는 수학적 개념임을 배운다. 하지만 이는 모두 일단 $(X,\, \mathcal{A},\, \mu)$가 주어졌을 때, 이 공간이 측도공간임을 확인 하는 것일 뿐, 주어진 공간 $X$로 부터 $\mathcal{A}$와 $\mu$를 실제적으로 "구성하는" 방법에 대해서는..
Analysis/Measure Theory  |  2016. 9. 21. 02:10

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