'2016/10'에 해당되는 글 11건

Problems and Solutions #016
Problem #016 삼각형 $ABC$ 위에, 변 $BC$를 $1:2$로 내분하는 점 $D$, 변 $CA$를 $1:2$로 내분하는 점 $E$, 변 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점 $F$을 각각 잡는다. 이 때, 삼각형 $IGH$의 넓이는 언제나 삼각형 $ABC$의 넓이의 $1/7$이 됨을 증명하여라. 먼저 아래와 같이 보조선 $DE$와 $IE$를 그린다. 그러면 삼각형 $IGH$와 삼각형 $ABC$의 넓이의 비는 아래의 식을 통해서 구할 수 있다. \[ \frac{\triangle IGH}{\triangle ABC} = \frac{\triangle ADC}{\triangle ABC} \cdot \frac{\triangle ADE}{\triangle ADC} \cdot \frac{\triangle I..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 10. 18. 23:28
Problems and Solutions #015
Problem #015 $7$개의 자연수로 이루어진 순서쌍 $a = (a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_7)$를 생각하자. 또한 순서쌍 $b = (b_1,\,b_2,\, \ldots,\, b_7)$를 $a$의 각 성분을 치환(permute)하여 얻은 새로운 순서쌍이라 하자. 이때 아래의 값 \[ (a_1-b_1)(a_2-b_2) \cdots (a_7-b_7) \tag*{$(\ast)$}\] 의 값은 언제나 짝수가 됨을 증명하여라. 예를 들어, $a = (3,\,1,\,4,\,1,\,5,\,9,\,2)$이고 $b = (1,\,9,\,2,\,3,\,4,\,5,\,1)$라 하면, \[ (3-1)(1-9)(4-2)(1-3)(5-4)(9-5)(2-1) = 256 \] 이 되어 짝수가 된다. 임의의 자..
Others/Olympiad  |  2016. 10. 18. 12:55
Problems and Solutions #014
Problem #014 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 다음과 같이 이중차례곱(double factorial)을 정의하자. \[ n!! = \begin{cases} 1 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n, \quad & \text{if $n$ is odd} \\ 2 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot n, & \text{if $n$ is even} \end{cases} \] 이 때, 자연수 $k$에 대하여 언제나 \[ (4n)!! - (4n-1)!! = (4n+1)k \] 가 성립함을 증명하여라. 주어진 문제는, 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 \[ (4n)!! - (4n-1)!! \equiv 0 \pmod{(4n+1)} \] 임을 보이는 문제와 동치이다. 먼저 $(4n)!!..
Algebra/Number Theory  |  2016. 10. 14. 09:20
Ambiguous Cylinder Illusion
전개도 모음 ※ 출처 - https://divisbyzero.com/2016/10/02/two-more-impossible-cylinders/ Square/Circle Impossible Cylinder Square/Triangle Impossible Cylinder Heart/Diamond Impossible Cylinder
Others/Visual Math  |  2016. 10. 13. 02:40
사각삼각수(Square Triangular Number)
삼각수(triangular number)란 어떠한 물체를 삼각형 모양으로 쌓았을 때, 그 삼각형을 만들기 위해서 필요한 물체의 총 개수가 되는 수를 말한다. 아래 그림은 첫 다섯개의 삼각수들을 보여준다. 비슷한 방법으로 사각수(square number)를 어떠한 물체를 사각형 모양으로 쌓았을 때, 그 사각형을 만들기 위해서 필요한 물체의 총 개수가 되는 수로 정의하자. 아래 그림은 첫 다섯개의 사각수들을 보여준다. 간단한 계산을 통해 $k$번 째 삼각수 $T_k$와 사각수 $S_k$는 아래의 식을 통해 구할 수 있음을 알 수 있다. \[ T_k = \frac{k(k+1)}{2}, \qquad S_k = k^2. \] 또한 $1$은 첫번째 삼각수이면서, 동시에 첫번째 사각수가 된다. 이러한 숫자를 사각삼각..
Algebra/Number Theory  |  2016. 10. 13. 01:12
좋은 수학자 vs 훌륭한 수학자
※ 출처 - https://mathwithbaddrawings.com/
Others/Visual Math  |  2016. 10. 7. 04:27
Problems and Solutions #013
Problem #013 $1$부터 $2016$까지의 모든 수를 일렬로 나열한 수 $M$을 생각하자. 즉,\[ M = 123 \ldots 891011 \ldots 20152016. \]이때, $M$을 $9$로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. $N$이 임의의 수라 하자. 이제 $N$을 적당한 자리수로 끊어 $N$을 몇 개의 수로 분할한다. 이 분할된 수들의 합을 $S$라 하자. 그러면 $N$과 $S$를 $9$로 나누었을 때의 나머지는 서로 같다. 이 사실이 성립함은 합동식을 이용하면 간단하게 증명이 가능하므로 생략하도록 하자. 예를 들어 $N = 18274610229$을 생각해 보자. 다음으로 $N$을 $18$, $274$, $6$, $102$, $29$로 적당히 분할한다. 이제 이 수들의 합은 $18+2..
Others/Olympiad  |  2016. 10. 6. 04:28
구면삼각형(spherical triangle)의 넓이, Girard의 정리
평면상의 직선이란 직관적으로 무한이 길고 곧은 선을 의미한다. 이 평면상의 직선 등을 다루는 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학 등으로 불린다. 그렇다면 구면상에서의 직선은 어떻게 정의할 수 있을까? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원(great circle)이 된다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두 점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 한다. 구면위의 두 점을 잇는 선분 또한 같은 방법으로 얻을 수 있다. (두 점을 지나는 대원을 구하면, 이 두점이 대원을 두 부분으로 나누게 되는데 이 중 짧은 쪽을 두 점을 잇는 선분으로 정의한다.) 이제 구면위에 세 점이 있을 때 이 세 점을 이어 만들어진 구면삼각형(spherical tri..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 10. 5. 11:31
[퍼온글] 정다각형의 대각선의 길이
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2010/12/22/1862 몇달전에 공부하는 과정에서 $r_i^2 = 1+r_{i-1} r_{i+1}$ 와 같은 점화식을 해결해야 한 적이 있었다. 후에 정다각형의 대각선의 길이가 똑같은 관계를 만족시킨다는 것을 알게 되어 재밌게 여긴 적이 있었다. 이 때문에 해보는 정다각형의 대각선 길이에 대한 이야기이다. 정사각형의 대각선의 길이 한변의 길이가 $1$인 정사각형의 대각선의 길이는 피타고라스의 정리를 이용하여 $\sqrt{2}$가 됨을 보일수 있다. "$\sqrt{2}$는 무리수" 라는 이야기는 중고교수학에서 배우는 가장 멋진 사실의 하나라 할 수 있다. 정오각형의 대각선의 길이 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율이..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 10. 5. 03:44
13 아르키메데스 다면체(Archimedean Solids) 전개도
※ 출처 - http://www.geometrycode.com/ 깎은 정사면체(truncated tetrahedron) 깎은 정육면체(truncated cube) 마름모육팔면체(rhombicuboctahedron) 다듬은 정육면체(snub cube) 깎은 육팔면체(truncated cuboctahedron) 육팔면체(cuboctahedron) 깎은 정팔면체(truncated octahedron) 깎은 정십이면체(truncated dodecahedron) 마름모십이이십면체(rhombicosidodecahedron) 다듬은 정십이면체(snub dodecahedron) 깎은 십이이십면체(truncated icosidodecahedron) 십이이십면체(icosidodecahedron) 깎은 정이십면체(trunc..
Others/Visual Math  |  2016. 10. 1. 23:35

티스토리툴바