jjycjn's Math Storehouse

Problem #016 삼각형 $ABC$ 위에, 변 $BC$를 $1:2$로 내분하는 점 $D$, 변 $CA$를 $1:2$로 내분하는 점 $E$, 변 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점 $F$을 각각 잡는다. 이 때, 삼각형 $IGH$의 넓이는 언제나 삼각형 $ABC$의 넓이의 $1/7$이 됨을 증명하여라. 먼저 아래와 같이 보조선 $DE$와 $IE$를 그린다. 그러면 삼각형 $IGH$와 삼각형 $ABC$의 넓이의 비는 아래의 식을 통해서 구할 수 있다. \[ \frac{\triangle IGH}{\triangle ABC} = \frac{\triangle ADC}{\triangle ABC} \cdot \frac{\triangle ADE}{\triangle ADC} \cdot \frac{\triangle I..

Problem #015 $7$개의 자연수로 이루어진 순서쌍 $a=(a_1,a_2,\dots ,a_7)$를 생각하자. 또한 순서쌍 $b=(b_1,b_2,\dots ,b_7)$를 $a$의 각 성분을 치환(permute)하여 얻은 새로운 순서쌍이라 하자. 이때 아래의 값 $$\begin{array}{}(\ast )& (a_1-b_1)(a_2-b_2)\cdots (a_7-b_7)\end{array}$$ 의 값은 언제나 짝수가 됨을 증명하여라. 예를 들어, $a=(3,1,4,1,5,9,2)$이고 $b=(1,9,2,3,4,5,1)$라 하면, $$(3-1)(1-9)(4-2)(1-3)(5-4)(9-5)(2-1)=256$$ 이 되어 짝수가 된다. 임의의 자..