jjycjn's Math Storehouse

※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2009/08/19/1428 $R(x,\, y)$는 $x,\, y$의 유리함수라고 가정하자. 삼각치환을 통한 적분 계산법을 간단히 정리해보자. $R(\cos x,\, \sin x)$의 적분: 다음과 같은 치환적분을 이용한다. \[ \begin{aligned} & t = \tan \frac{x}{2}, \quad \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}, \quad \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ & \quad \implies \int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \fr..

※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/18/594 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/23/613 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/05/08/642 수학에는 Freshman's dream(대학생 1학년의 꿈)이라는 것이 있다. 일반적으로 $(a+b)^n = a^n + b^n$이라는 등식은 참이 아니지만, 표수(characteristic)가 p인 유한체(finite field)에서는 다음의 수식이 성립한다. \[ (a+b)^p = a^p+b^p \] 이제 초등학교 시절로 돌아가 보자. 초등학생들이 분수의 덧셈을 처음 배울 때, 여러가지 어려운 점들이 등장하게 된다. 통분을 해야 하..

※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2008/08/09/708 오늘은 라마누잔의 $1729$라는 숫자에 대한 얘기인데, $1729$라는 숫자가 라마누잔의 눈에 들어올 수 있었던 수학적인 배경에 대해 말하고자 한다. 먼저 하디의 회고를 살펴보자. 그(라마누잔)가 아파서 Putney(런던의 남서부 지구)에 있을 때 찾아갔던 일을 기억한다. 나는 번호판이 1729인 택시를 탔는데 이 숫자가 무지하게 평범한 숫자[dull one]이라는 걸 깨닫고는, 이것이 불길한 징조가 아니길 바랬다. "아니야" 라고 그가 대답하면서 "매우 흥미로운 숫자이지. 그것은 두 개의 세제곱수로 나타내는 방법이 두 가지인 최소의 자연수이거든."이라고 말했다. 다시 말해 \[ 1729=12^3+1^3..