jjycjn's Math Storehouse

※ 출처 - http://kevin0960.tistory.com/ 베르트랑의 공준에 따르면 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여, $n < p < 2n$을 만족하는 소수 $p$가 반드시 존재한다. 이는 최초로 체비셰프(Chebyshev)에 의해 증명되었으나 그의 증명은 매우 길고 복잡하였다. 왜냐하면 체비셰프의 증명은 다른 문제를 해결함으로써 파생된 결과 이였기 때문이다. 후에 인도의 수학자 라마누잔(Ramanujan)이 쳬비셰프의 방법 보다 훨씬 간단한 방법으로 증명하였다. 하지만 나중에 폴 에르디시(Paul Erdős)가 기초적인 수학만을 사용하여 간결하게 증명하였는데, 여기 소개하고자 할 증명은 바로 폴 에르디시의 증명이다. 정리. 베르트랑의 공준, 체비셰프의 정$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여..

※ 출처 - http://kevin0960.tistory.com/ 디오판토스의 저서 '산학'에는 '모든 양의 정수는 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있다.' 라는 내용이 담겨 있다. 예를 들어, \[ \begin{aligned} 3 &= 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 \\ 31 &= 5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 \\ 310 &= 17^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2 \end{aligned} \] 와 같다. 이 정리는 바셰(Bachet)가 1621년 라틴어로 쓰여진 '산학'을 번역해 소개하면서 유럽 수학계에 널리 알려졌지만, 결국 누구도 이 정리에 대한 증명 또는 반례을 발견하지 못하였고, 결국 바셰의 추측이라는 이름으로 불리게 되었다. 이 후 1770년에 수학자 라그랑주(Joseph..