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삼각부등식(triangle inequality)의 두항의 크기의 차
임의의 노름공간(normed vector space) $(X,\, \norm{\cdot})$의 임의의 두 벡터 $x,\, y \in X$에 대하여 다음의 삼각부등식(triangle inequality)가 성립한다. \[ \norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y} \] 그렇다면 위 부등식의 두 항의 크기는 어느정도나 차이가 나는 걸까? 삼각부등식(triangle inequality)의 두항의 크기의 차다음 정리는 논문 [Lech Maligranda, "Simple Norm Inequalities", The American Mathematical Monthly, Vol. 113, No. 3 (Mar., 2006), pp. 256-260]에서 찾아 볼 수 있다. 정리. (Maligrand..
Analysis/Functional Analysis  |  2017. 11. 8. 03:03
p5.js 연습 009. $n$을 법으로 하는 곱셈 테이블
자연수 $2 \leq n \leq 150$에 대하여 $n$을 법으로 하는 곱셈 테이블이 아래에 주어져 있다. 테이블의 $(i,\,j)$-칸의 값은 $ij \pmod{n}$이며, 시각적 효과를 더하기 위해서 곱셈의 결과가 $0$에 가까울수록 노란색, $n-1$에 가까울 수록 파란색을 나타내도록 하였다. 단, 테이블에서 $0$이 곱해지는 첫번째 행과 첫번째 열은 제외하였다. 오른쪽 아래의 슬라이더를 움직이면 $n$의 값을 늘리거나 줄일 수 있다. p5.js 코드 보기
Others/Processing  |  2017. 10. 27. 05:17
비판정법(ratio test)과 근판정법(root test)
미적분학에서 주어진 급수 $\sum_{n} a_{n}$의 수렴여부를 판단할 때, 비판정법(ratio test) 또는 근판정법(root test)을 흔히 사용한다. 즉, 주어진 수열의 비 $\abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}$ 또는 $n$제곱근 $\sqrt[n]{\abs{a_{n}}}$의 극한이 존재할 때, 이 극한의 크기에 따라서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단 하게 된다. 하지만 굳이 수열의 비나 $n$제곱근의 극한이 존재하지 않더라도 상극한(limit superior) 또는 하극한(limit inferior)에 대하여 비판정법이나 근판정법을 이용할 수 있는데, 자세한 판정법의 내용은 다음과 같다. 정리. 비판정법(ratio test) 주어진 급수 $\sum_{n} a_{n}$에 대하여,..
Analysis/Calculus  |  2017. 10. 26. 07:48
지뢰찾기(minesweeper) 게임과 수학
지뢰찾기(minesweeper) 게임란 $m \times n$ 크기의 격자에 주어진 숫자를 바탕으로 각 격자에 숨어 있는 지뢰를 모두 찾는 게임이다. 이 때, 각 격자에 주어지는 숫자는 그 격자에 인접한 8개의 격자에 위치한 지뢰의 개수를 나타낸다. 지뢰찾기 게임에도 다양한 수학적 사실이 숨겨져 있는데, 이번 글에서는 그 중 하나를 살펴보도록 하자. 이제 어떤 $m \times n$ 크기의 지뢰찾기 게임이 주어졌다고 하자. 이 게임에서 지뢰가 숨겨져 있는 모든 격자의 지뢰를 없애고, 반대로 지뢰가 숨겨져 있지 않은 모든 격자에 지뢰를 숨기면 새로운 지뢰찾기 게임을 얻게 된다. 이렇게 얻은 게임을 주어진 지뢰찾기 게임의 쌍대(dual)하고 하자. 예를 들어 아래 두 지뢰찾기 게임은 서로 쌍대 관계이다. 위..
Others/Olympiad  |  2017. 10. 25. 03:49
Problems and Solution #039
Problem #039다음 방정식 \[ \lfloor x \lfloor x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor \rfloor \rfloor = 2017 \] 을 만족하는 $x$을 모두 구하여라. (단, $\lfloor x \rfloor$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수로 정의한다.) 주어진 방정식을 풀기 전에 먼저 방정식 $x \lfloor x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor \rfloor = 2017$의 해를 구하도록 하자. 함수 $f(x) = x \lfloor x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor \rfloor$를 정의하면 $f(x)$는 $x>0$인 범위에서 증가함수이고 $x
Others/Olympiad  |  2017. 10. 20. 05:22
시커만 주사위(Sicherman dice)
두개의 일반적인 주사위가 있다고 하자. 일반적인 주사위의 각 면에는 점이 1개부터 6개까지 쓰여있으므로 이 일반적인 주사위를 $(1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6)$으로 나타내도록 하자. 이제 두 주사위를 각각 굴려서 나온 두 수의 합을 구해보면 이 합은 2부터 12까지의 모든 수가 가능함을 알 수 있는데, 각각의 수가 나오는 경우의 수를 구해보면 다음과 같다. 합 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 경우의 수 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 이제 아래의 조건들을 모두 만족하는 2개의 주사위를 새롭게 만들고자 한다. 2개의 주사위는 동일하지 않다. 주사위에 각 면에는 적어도 하나 이상의 점이 쓰인다. 단, 주사위의 두 면에 같은 개수의 점이 쓰이는 것은 상관이 없다. 2개의..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 10. 18. 04:07
Problems and Solutions #038
Problem #038$3$차 정사각행렬 $A$, $B$가 $A^2 = AB + BA$를 만족할 때, $\det(AB - BA) = 0$임을 보여라. $A^2 = AB + BA$이므로 $AB = A^2 - BA$, $BA = A^2 - AB$가 성립한다. 따라서\[ \begin{align*} \det(AB - BA) &= \det(A^2 - 2BA) = \det((A - 2B)A) \\[5px] &= \det(A - 2B) \det(A) = \det(A) \det(A - 2B) \\[5px] &= \det(A(A - 2B)) = \det(A^2 - 2AB) \\[5px] &= \det(BA - AB) = \det(-(AB - BA)) \\[5px] &= (-1)^3 \det(AB - BA) = -\det..
Algebra/Matrix Algebra  |  2017. 10. 13. 01:13
외적(cross product)과 오른손 법칙(right hand rule)
$\R^3$의 두 벡터 ${\bf u} = (u_1,\, u_2,\, u_3)$와 ${\bf v} = (v_1,\, v_2,\, v_3)$에 대하여 ${\bf u}$와 ${\bf v}$의 외적(cross product) ${\bf u} \times {\bf v}$를 다음과 같이 정의한다.\[ {\bf u} \times {\bf v} = (u_2v_3 - u_3v_2,\, u_3v_1 - u_1v_3,\, u_1v_2 - u_2v_1) \]하지만 이 식을 단순히 외우기는 쉽지 않기 때문에 보통은 선형대수학의 행렬식을 이용하여 다음과 같이 외적을 정의하고는 한다.\[ {\bf u} \times {\bf v} = \left| \begin{array}{ccc} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k} ..
Analysis/Calculus  |  2017. 10. 11. 01:07
더 많은 특수각에 대한 삼각함수의 값
특수각에 대한 삼각함수의 값은 아래와 같이 주어진다. 아래 표에서 파란색으로 나타낸 숫자들의 변화에 주목하자. 각 $(a)$ $\sin(a)$ 또는 $\cos(b)$ 각 $(b)$ deg rad deg rad 0 0 $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{0}}}{2}$ $=$ $0$ 90 $\dfrac{\pi}{2}$ 30 $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{1}}}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ 60 $\dfrac{\pi}{3}$ 45 $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{2}}}{2}$ 45 $\dfrac{\pi}{4}$ 60 $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\s..
Others/High School Math  |  2017. 10. 2. 12:51
3D 하트 방정식
다음의 방정식 \[ \left( x^2 + \frac{9}{4} y^2 + z^2 - 1 \right)^3 - x^2 z^3 - \frac{9}{80}y^2 z^3 = 0 \] 을 만족하는 점 $(x,\,y,\,z)$들의 집합을 $\R^3$위에 나타내면 아래 그림과 같이 하트 모양이 나온다고 한다. ※ 출처 - https://anhngq.wordpress.com/2011/11/05/mupad-heart-in-3d/
Others/Visual Math  |  2017. 9. 29. 12:23

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