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월리스-보여이-게르빈 정리(Wallace-Bolyai-Gerwien theorem)
분할 퍼즐(dissection puzzle)이란 평면 위에 주어진 다각형을 적당히 유한개의 다각형 조각들로 잘라낸 후에 다시 재결합하여 새로운 다각형을 만들어 내는 퍼즐의 한 분야를 말한다. 분할 퍼즐을 보면 매우 다양한 과제를 볼 수 있다. 삼각형, 사각형, 십자가 등등의 친숙한 다각형을 이리저리 잘라내고 붙여서 전혀 새로운 다각형을 만드는 것을 보면 그저 신기하기만 하다. 그러나 간혹 어떤 다각형들은 다른 다각형으로 변환하는 것이 불가능에 가까워 보이기도 한다. 과연 분할 퍼즐 중에서 불가능 한 것이 있을까? 답은 "아니다"이다. 월리스-보여이-게르빈 정리(Wallace-Bolyai-Gerwien theorem)에 따르면 크기가 같은 모든 두 단순다각형(simple polygon)에 대하여, 한 다각..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2017. 12. 29. 06:55
Problems and Solutions #042
Problem #042 다음 부정적분을 계산하여라. \[ \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} dx \] 풀이 1. $t = \sqrt{1 + \sqrt{x}}$로 치환적분을 이용하자. 이 치환식을 정리하면 $x = (t^2 -1)^2$를 얻고, 이로부터 $dx = 4t(t^2-1)dt$를 얻는다. 따라서 주어진 적분을 변수 $t$에 대한 적분으로 바꾸어 주면,\[ \begin{align*} \int \frac{dx}{ \sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} &= \int \frac{4t(t^2-1)dt}{(t^2 -1) \cdot t \cdot \sqrt{1+t} ..
Analysis/Calculus  |  2017. 12. 19. 01:08
$3$-주기점(period-$3$ point)은 혼돈(chaos)을 야기한다
닫힌 구간 $I$ 위에서 연속인 함수 $f: I \to I$에 대하여 다음을 정의하자. 정의 1. 정수 $m \geq 1$에 대하여, $f^m(a) = a$이지만 모든 $1 \leq i < m$에 대하여 $f^i(a) \neq a$ 을 만족하는 점 $a \in I$가 존재하면, $a$를 $f$의 $m$-주기점(period-$m$ point)이라 한다. 특히 $m=1$인 경우, $a$를 $f$의 고정점(fixed point)이라 한다. 이제 주어진 두 정수 $m \neq n,$에 대하여 $f$가 $m$-주기점을 가질 때, 언제나 $n$-주기점을 가지는지에 대한 질문에 대해 생각해 볼 수 있다. 예를 들어 $m=1$이고 $n=2$인 경우, 위 질문에 대한 대답은 '아니오'이다. 함수 $f(x) = x$를 생..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 12. 18. 11:24
Problems and Solutions #041
Problem #041적분값이 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} h(t) \,dt = 1$인 함수 $h$에 대하여 다음 적분값을 계산하여라.\[ \iint_{\R^2} h(2x^2 - 6xy + 5y^2) \,dxdy \] $2x^2 - 6xy + 5y^2 = (x-y)^2 + (x-2y)^2$와 같이 정리되므로 다음과 같이 치환을 하자.\[ u = x-y, \;\; v = x-2y \quad \Longleftrightarrow \quad x = 2u-v, \;\; y = u-v \]위 치환에 대한 야코비안(Jacobian)은 \[ \abs{\frac{\partial (x,\,y)}{\partial(u,\, v)}} = \abs{\det \left( \begin{array}{rr..
Analysis/Calculus  |  2017. 12. 16. 03:39
등주부등식(isoperimetric inequality)과 비르팅거 부등식(Wirtinger's inequality)
등주부등식(isoperimetric inequality)이란 주어진 폐곡선의 둘레와 그 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 사이의 관계에 대한 답을 제공한다. 즉, 등주부등식을 이용하여 "둘레의 길이가 일정한 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 최대넓이는 무엇인가?"와 "넓이가 일정한 영역을 둘러싸는 곡선의 최소길이는 무엇인가?"에 대한 (이를 등주문제(isoperimetric problem)라 부른다) 대답을 동시에 할 수 있으며, 이 때의 답은 주어진 영역이 원일 때임을 알려 준다. 등주문제에 대한 답은 고대 그리스 시대부터 알려져 있었다고 알려져 있으나, 최초의 엄밀한 수학적 증명은 19세기에 들어서 가능했다고 한다. 정리. 등주부등식(isoperimetric inequality) 평면 $\R^2$ 위에 주어진..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2017. 12. 13. 08:07
비르팅거 부등식 (Wirtinger's inequality)
비르팅거 부등식(Wirtinger's inequality)이란 푸리에 해석(Fourier analysis) 분야에서 자주 쓰이는 부등식으로, 특정한 형태의 주기함수에 대하여 성립하는 다음의 부등식을 말한다. 정리. 비르팅거 부등식 (Wirtinger's inequality) 주기가 $2\pi$이고 구간 $[0,\, 2\pi]$에서의 적분값이 $0$인 임의의 $C^1$-함수 $f$에 대하여 다음 부등식이 성립한다. \[ \int_{0}^{2\pi} (f'(t))^2 \,dt \geq \int_{0}^{2\pi} (f(t))^2 \,dt \]단, 등호는 $f(t) = a \cos(t) + b \sin(t)$일 때 성립한다. 증명. $f$가 주기함수이므로 $f$의 푸리에 급수(Fourier series)가 존..
Analysis/Functional Analysis  |  2017. 12. 7. 08:51
Schinzel의 정리 - $n$개의 격자점을 지나는 원의 존재성
좌표평면에서 격자점(lattice point)이란 좌표 $(x,\, y)$가 모두 정수인 점을 뜻한다. 이제 양의 정수 $n$에 대하여 정확하게 $n$개의 격자점을 지나는 원을 생각해 보자. 우선 $n=1$인 경우 간단히 $(3x-1)^2 + 9y^2 = 1$을 생각해 보면 $(\frac{1}{3},\, 1)$이고 반지름이 $\frac{1}{3}$인 원이므로 정확히 $1$개의 격자점 $(0,\,0)$을 지나는 것을 알 수 있다. 또한 $n=2$인 경우에는 원 $(2x-1)^2 + 4y^2 = 1$를 생각해 보면 중심이 $(\frac{1}{2},\, 1)$이고 반지름이 $\frac{1}{2}$인 원이므로 정확히 $2$개의 격자점 $(0,\, 0)$과 $(1, 0)$을 지남을 알 수 있다. 이와 같은 방법으..
Algebra/Number Theory  |  2017. 12. 5. 15:08
Problems and Solutions # 040
Problem #40 다음 극한을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \] 풀이1. 주어진 극한을 $L$이라 하자. \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} \]이제 양변에 자연로그를 씌우면 정적분의 정의에 의해서 \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left( \frac{k}{n} \rig..
Analysis/Calculus  |  2017. 11. 22. 00:47
연속적인 $2n-1$개의 자연수들의 제곱의 합
연속적인 세 자연수 $3,\,4,\,5$ 사이에는 우리에게 잘 알려진 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)가 성립한다.\[ 3^2 + 4^2 = 5^2 \]나아가 연속적인 다섯 자연수 $10,\, \ldots,\,14$와 연속적인 일곱 자연수 $21,\, \ldots,\, 27$ 사이에도 위와 비슷한 관계가 성립함을 알 수 있다.\[ \begin{align*} 3^2 + 4^2 &= 5^2 \\[5px] 10^2 + 11^2 + 12^2 &= 13^2 + 14^2 \\[5px] 21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 &= 25^2 + 26^2 + 27^2 \end{align*} \]일반적으로 임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여, 연속적인 $2n+1$개의 자연수 $x-n,\,..
Others/High School Math  |  2017. 11. 14. 16:00
"소수의 개수는 무한하다"에 대한 한줄짜리 증명
2015년에 발표된 논문 [Sam Northshield, "A One-Line Proof of the Infinitude of Primes", The American Mathematical Monthly, Vol. 122, No. 5 (May 2015), p. 466]에는 소수의 가수가 무한함을 보이는 한줄짜리 증명이 실려있다. (아래의 증명은 설명의 편의를 위해 약간의 설명을 덧붙인 것이다.) 정리. 소수의 개수는 무한하다. 증명. 소수의 개수가 유한하다고 가정하고, 이 유한한 소수들의 곱을 $Q$라 하자. \[ 0 \overset{(1)}{ 0$이 성립한다. 따라서 첫번째 부등식이 성립함을 알 수 있다. $\sin$은 주기가 $2\pi$인 함수이다. 즉, 임의의 실수 $x$와 정수 $k$에 대하여 $\..
Others/High School Math  |  2017. 11. 14. 02:32

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