'Mathematics'에 해당되는 글 547건

군론(group theory)를 이용한 정수론의 정리 증명
정수론에서 합동(modular)의 개념을 정의하고 나서 바로 배우는 세 가지의 정리가 있다. 이들은 각각 페르마의 소정리(Fermat's little theorem), 오일러의 정리(Euler's theorem), 그리고 윌슨의 정리(Wilson's theorem)를 말하는데, 이 정리를 기반으로 합동식에 대한 다양한 결론를 이끌어 낼 수 있다. 이 세 가지 정리의 증명은 합동식의 성질을 이용해서 증명할 수도 있지만, 대수학에서의 군(group)의 성질을 이용함으로써 단 몇 줄로도 증명이 가능하다. 이를 자세히 살펴 보면 다음과 같다. $ $ 우선 세 양의 정수 $a,\,b,\,m$에 대하여, $a$와 $b$가 모두 $m$과 서로소(coprime)라 하자. 그러면 정수 $x_1,\, y_1,\, x_2,..
Algebra/Number Theory  |  2018. 8. 11. 00:35
파도아의 부등식(Padoa's Inequality)과 오일러의 부등식(Euler's inequality)
파도아의 부등식(Padoa's Inequality)은 임의의 삼각형 $ABC$의 세 변 $a,\,b,\,c$ 사이에 성립하는 다음의 부등식을 말한다. \[ abc \geq (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) \] 한 편, 삼각형 $ABC$의 내접원과 외접원의 반지름을 각각 $r,\,R$이라 하면, 잘 알려진 오일러의 부등식(Euler's inequality)이 성립한다. \[ R \geq 2r \] 위 두 부등식은 사실 서로 동치인데, 이번 글에서는 먼저 파도아의 부등식을 증명하고 이 부등식을 바탕으로 오일러의 부등식을 이끌어낼 것이다. $ $ 파도아의 부등식(Padoa's Inequality) 정리. 파도아의 부등식(Padoa's Inequality) 삼각형 $ABC$의 세 변..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2018. 8. 8. 23:25
택시캡수(taxicab number)와 캡택시수(cabtaxi number)
다음은 수학자 하디(G. H. Hardy)가 그의 제자 라마누잔(S. Ramanujan)의 병문안을 갔을 때의 일화이다. 1918년 2월, 입원 중이던 라마누잔의 병문안을 가시 위해서 하디가 탄 택시의 번호는 $1729$였다. 병원에 도착한 하디는 라마누잔에게 말을 건냈다. "내가 타고 온 택시의 번호는 $1729$였어. 그런데 이 숫자는 너무 평범한 숫자라, 이게 나쁜 징조가 아니길 바랬다네." 하디가 말하자, 라마누잔은 즉시 대답했다. "아닙니다. 매우 흥미로운 수입니다. 왜냐하면 $1729$는 두 개의 양의 세제곱수의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 수들 중 가장 작은 수이기 때문이죠." 실제로 $1729$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ 1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^..
Algebra/Number Theory  |  2018. 8. 3. 23:39
[마감] 티스토리 초대장 배포합니다.
초대장을 모두 소진하여 배포를 마감합니다! 오랜만에 초대장 배포합니다. 아래 네가지 질문에 간단히 답을 해서 댓글에 '비밀글'로 달아 주시면, 스팸 댓글이나 양식을 지키지 않은 글을 제외하고 선착순으로 보내드리겠습니다. 1. 초대장을 받게 될 이메일 주소 초대장은 개인 이메일로 보내지게 됩니다. 주로 사용하시는 이메일 주소를 알려주세요. 이메일 주소가 asdf1234, q1w2e3r4 등과 같이 스팸이 의심되는 주소는 피해주세요. 2. 운영하고 싶은 블로그의 주제와 간략한 설명 개인적으로는 수리과학 분야의 블로그가 많아졌으면 하는 바램이지만, 블로그의 주제는 아무거나 상관 없습니다. 자기가 하고싶은 주제에 대해 자기가 의견을 나누며 소통하는게 블로그의 장점이니까요. 앞으로 운영하고 싶은 블로그의 주제와 ..
Miscellaneous  |  2018. 7. 6. 23:32
삼각함수의 $n$배각공식과 체비쇼프 방법(Chebyshev method)
지난 글에서는 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)를 이용하여 사인 함수과 코사인 함수의 $n$배각 공식을 간단히 얻는 방법을 살펴 보았다. 이번 글에서는 코사인 함수, 사인 함수, 탄젠트 함수의 $n$배각공식에 재귀적으로 얻는 체비쇼프 방법(Chebyshev method)에 대해서 알아보도록 하자. $ $ 코사인 함수에 대한 체비쇼프 방법 정리. 코사인 함수에 대한 체비쇼프 방법 임의의 정수 $n \geq 2$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \cos(nx) = 2 \cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x) \tag*{$(1)$} \] $ $ 증명. 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 $n \geq 2$일 때, 다음을 얻는다. \[ \begin{align*} \c..
Others/High School Math  |  2018. 7. 2. 08:56
삼각함수의 $n$배각공식과 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)
삼각함수에 대한 모든 항등식은 아래 삼각함수의 덧셈정리로 부터 증명할 수 있다. \[ \begin{align*} \sin(x \pm y) &= \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y) \\[5px] \cos(x \pm y) &= \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y) \end{align*} \] 특히 삼각함수의 두배각공식(double angle formula)는 위 식에서 $y=x$로 둠으로써 얻을 수 있다. \[ \begin{align*} \sin(2x) &= \sin(x + x) \\[5px] &= \sin(x) \cos(x) + \cos(x) \sin(x) \\[5px] &= 2 \sin(x) \cos(x) \\[15px] \cos(2x) &= \co..
Others/High School Math  |  2018. 7. 2. 08:55
짝수 완전수(perfect number)와 메르센 소수(Mersenne prime)
완전수(perfect number) 정수론에서, 완전수(perfect number)란 자기 자신을 제외한 양의 약수를 모두 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다. 예를 들어 $6$의 양의 약수는 $1,\,2,\,3,\,6$이고, $1 + 2 + 3 = 6$을 만족하므로, $6$은 완전수의 한 예이다. 또 다른 완전수의 예로는 다음과 같은 수들이 있다. \[ \begin{align*} 6 &= 1 + 2 + 3 \\[5px] 28 &= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \\[5px] 496 &= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 \\[5px] 8128 &= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + ..
Algebra/Number Theory  |  2018. 6. 16. 03:56
집합 위에 정의된 이항관계(binary relation)
주어진 집합 $A$에 대하여 $A$ 위에서 정의된 이항관계(binary relation)이란, $A$의 원소들로 이루어진 순서쌍들의 모임이다. 즉, 곱집합 $A \times A$의 부분집합으로 이해할 수 있다. 이제부터 $R$을 집합 $A$ 위의 이항관계라 하자. 그러면 $R$의 원소 $(x,\,y)$를 보통 $x \, R \, y$, $R(x,\,y)$, 또는 간단히 $x \sim y$와 같이 나타낸다. $ $ 집합 $A$ 위의 이항관계 $R$에는 여러가지 유형이 있는데, 이 중 몇 가지 중요한 유형은 다음과 같다. 반사관계(reflexive relation): 모든 $x \in A$에 대하여, $x \sim x$. 대칭관계(symmetric relation): 모든 $x,\, y \in A$에 대하여..
Foundations/Set Theory  |  2018. 6. 7. 22:40
두 무한급수의 합
다음과 같이 두 무한급수를 정의하자. \[ \begin{align*} S_{1} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots \\[5px] S_{2} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \cdots \end{align*} \] 위 두 급수의 값 중 어느 것이 더 큰지 비교해 보자. 우선 $n \neq 0$일 때, $S_{2}$의 $n$번째 항이 $S_{1}$의 $n$번째 항보다 더 크므로 $S_{1} < S_{2}$일 ..
Analysis/Calculus  |  2018. 6. 7. 22:38
반대칭행렬(skew-symmetric matrix)의 행렬식(determinant)
반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이란 전치행렬(transpose)이 덧셈의 역원과 같은 행렬이다. 즉, $n \times n$ 실행렬 $A$에 대하여 $A^{\T}= -A$가 성립할 때, $A$를 반대칭행렬이라 한다. 따라서 임의의 반대칭행렬 $A$에 대하여 $a_{ij}$를 행렬 $A$의 $(i,\,j)$-원소라 하면 다음을 얻는다. \[ a_{ij} = -a_{ji} \quad \forall\; i,\, j \in \{1,\,2,\,\ldots,\, n\} \tag*{$(\ast)$} \] 예를 들어 다음의 행렬들은 모두 반대칭행렬의 예들이다. \[ \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] , \quad \left[..
Algebra/Matrix Algebra  |  2018. 5. 7. 23:36

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