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Problems and Solution #045
Problem #045 다음 방정식을 만족하는 $x$의 값을 구하여라. \[ \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{x-1} = \left( 1 - \frac{1}{2018} \right)^{2018} \] 위 방정식의 좌변에 $x=1-y$로 치환을 하면, \[ \begin{align*} \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{x-1} &= \left( 1 - \frac{1}{1-y} \right)^{-y} = \left( \frac{-y}{1-y} \right)^{-y} \\[5px] &= \left( \frac{y}{y-1} \right)^{-y} = \left( \frac{y-1}{y} \right)^{y} = \left( 1 - \frac{1}{y} \right..
Others/Middle School Math  |  2018. 2. 23. 04:52
Problems and Solutions #044
Problem #044다음 적분 값을 구하여라.\[ \int_{0}^{\infty} \frac{\ln(1+x^{5}) - \ln(1+x^{3})}{(1+x^{2}) \ln(x)} \,dx \] 구간 $(0,\, \infty)$에서 적분 가능한 함수 $f$에 대하여 다음 식이 성립한다.\[ \int_{0}^{\infty} f(x) \,dx = \int_{0}^{\infty} \frac{f(\frac{1}{x})}{x^2} \,dx \]위 등식은 좌변의 적분에 $x = \frac{1}{u}$로 치환적분을 하면 간단히 성립함을 보일 수 있다. 이제 함수 $f$를 위 문제에 주어진 피적분 함수로 정의하면,\[ \begin{align*} \frac{f(\frac{1}{x})}{x^2} &= \frac{\ln(1+..
Analysis/Calculus  |  2018. 2. 23. 04:39
감마함수(gamma function)의 유일성(uniqueness)
지난 글에서 다음과 같이 정의된 감마함수(gamma function) \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \] 가 계승(factorial) 함수의 확장임을 보였다. 하지만 계승 함수는 자연수에서만 정의된 함수이므로 이를 실수로 확장하는 연속함수는 무한히 많이 존재한다. 그렇다면 왜 하필 다른 함수가 아닌 감마함수를 계승함수의 자연스러운 확장으로 여기는 걸까? 우선 감마함수가 가지는 몇 가지 유용한 사실들을 살펴보자. 먼저 감마함수는 (1) $f(1) = 1$이 성립하고, (2) 모든 $x > 0$에 대하여 $f(x+1) = x f(x)$가 성립한다. 또한 감마함수가 가지는 중요한 사실..
Analysis/Calculus  |  2018. 2. 10. 06:42
$n$차원 초구(hyperball)의 초부피(hypervolume)
이번 글에서는 반지름이 $r$인 $n$차원 초구(hyperball)의 초부피(hypervolume)를 계산할 것이다. 논의를 간단히 하기 위하여 $V_n(r)$을 반지름이 $r$인 $n$차원 초구의 초부피로 정의하자. 먼저 $n=1$인 경우, 반지름이 $r$인 초구(선분)는 구간 $(-r,\, r)$과 같으므로 초부피(길이)는 $2r$이 된다. 또한 $n=2$인 경우, 반지름이 $r$인 초구(원)의 초부피(넓이)는 적분을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다. (아래 적분은 $x=r\sin(\theta)$로 치환적분을 하면 간단히 구할 수 있다.) \[ \int_{-r}^{r} V_1\left( \!\! \sqrt{r^2 - x^2} \right) \, dx = \int_{-r}^{r} 2\sqrt{r^2..
Analysis/Calculus  |  2018. 2. 2. 07:50
감마함수(gamma function)와 베타함수(beta function)
감마함수(gamma function)와 계승(factorial)감마함수(gamma function)는 계승(factorial)을 일반화 한 형태의 함수로써, 다음과 같이 적분 형태로 정의된다. \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \] 두 복소수 $z$와 $z+1$에 대한 감마함수의 값을 비교하면, 아래와 같이 매우 밀접한 관계를 가지고 있음을 쉽게 확인할 수 있다. 정리 1 $\operatorname{z} > 0$를 만족하는 임의의 복소수 $z$에 대하여 $\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)$가 성립한다. 증명. 부분적분을 이용하면 간단히 증명할 수 있다. \[ \begin..
Analysis/Calculus  |  2018. 1. 19. 11:16
조화수(harmonic number)는 정수가 될 수 있을까?
임의의 양의 정수 $n$에 대하여 $n$번째 조화수(harmonic number) $H_n$을 다음과 같이 정의하자. \[ H_n := \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \] 이 때, $n \to \infty$이면 수열 $(H_n)$이 양의 무한대로 발산함을 쉽게 증명할 수 있다. 만약 $(H_n)$이 $H$로 수렴한다고 가정해 보자. 그러면 $(H_n)$은 $H$로 절대수렴한다. 하지만 \[ \begin{align*} H & = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \cdots \\[5px] & \geq \frac{1}{1} +..
Algebra/Number Theory  |  2018. 1. 17. 13:29
메르센 소수(Mersenne prime)의 목록
최근(2018년 1월 3일) GIMPS 프로젝트(Great Internet Mersenne Prime Search project)로부터 50번째 메르센 소수(Mersenne prime)가 발견되었다는 소식이 들려왔다. 정수 $n$에 대하여 $M_n := 2^n - 1$의 형태를 갖는 수를 메르센 수(Mersenne number)라 하는데, 이 중 소수인 메르센 수를 특별히 메르센 소수라 한다. 이 때, $n$이 합성수이면 $M_n$ 또한 합성수이기 때문에, $n$이 소수인 경우만 확인하면 충분하고 따라서 모든 메르센 소수는 적당한 소수 $p$에 대하여 $M_p = 2^p - 1$의 형태로 나타낼 수 있다. 하지만 임의의 소수 $p$에 대하여 $M_p$가 언제나 메르센 소수가 되는 것은 아니다. 예를 들어..
Algebra/Number Theory  |  2018. 1. 11. 13:16
시어핀스키 수(Sierpinski number)
1960년 시어핀스키(Waclaw Sierpinski)는 모든 양의 정수 $n$에 대하여, $k 2^n +1$가 합성수가 되게 하는 홀수 양의 정수 $k$의 갯수는 무한함을 증명하였다. 그의 이름을 따러 위 성질을 만족하는 홀수 양의 정수 $k$를 시어핀스키 수(Sierpinski number)라고 한다. 시어핀스키의 증명에는 구체적인 $k$의 값은 제시되지 않았었는데, 2년 후에 셀프리지(Selfridge)는 $k=78557$이 시어핀스키 수임을 증명하는데 성공하였다. 그의 증명 과정을 조금 더 자세히 알아보자. 정리 1. $k=78557$일 때, 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $k 2^n +1$은 언제나 합성수이다. 증명. 아래의 계산 결과에 의해서 위 정리가 성립함을 알 수 있다. \begin{a..
Algebra/Number Theory  |  2018. 1. 4. 09:17
자연상수를 근사하는 유사 완전 온자리 수(pseudo perfect pandigital formula)
온자리 수(pandigital number)란 $0$ 부터 $9$ 까지의 모든 숫자를 적어도 한번씩 사용하여 만든 $10$자리 이상의 정수를 말한다. 특히 $0$부터 $9$ 까지의 모든 숫자를 단 한번씩만 사용하여 만든 $10$자리 정수를 완전 온자리 수(perfect pandigital number)라 한다. 예를 들어 가장 작은 $10$자리 완전 온자리 수와 가장 큰 $10$자리 완전 온자리 수는 각각\[ 1023456789, \quad 9876543210 \]가 된다. 완전 온자리 수에 대한 잘 알려진 퍼즐이 하나 있는데 이곳에서 관련 퍼즐에 대한 설명을 확인할 수 있다. 하지만 완전 온자리 수의 갯수는 매우 제한적이므로, $0$ 부터 $9$ 까지의 숫자와 수학 연산 기호를 이용하여 만들 수 있는 ..
Others/Articles  |  2018. 1. 1. 05:37
Problems and Solutions #043
Problem #043다음 극한의 수렴 여부를 판단하고, 수렴한다면 극한값을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!} \] 증명. 포아송 분포(Poisson distribution)의 정의에 의하면, 단위 시간 안에 어떤 사건이 일어날 기댓값을 $\lambda$라 했을 때, 그 사건이 $n$번 일어날 확률은 \[ \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 로 주어지며, 기댓값이 $\lambda$인 포아송 분포 $X$를 $X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$와 같이 나타낸다. 이제 포아송 분포 $X_n \sim \operatorname{Poisson}(n)$에 대하여, 어떠..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 12. 31. 09:57

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