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Problems and Solutions #031
Problem #031$x,\, y,\, z$가 아래 식들을 만족하는 세 실수라 하자. \[ x + y + z = 15, \qquad xy + yz + zx = 72. \] 이제 $x$가 가질 수 있는 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$이라 할 때, $m + M$의 값을 구하여라. 첫번째 식을 정리하면 $z = 15 - x - y$를 얻는데, 이를 다시 두번째 식에 대입하여 정리하면 \begin{align*} & xy + y(15 - x - y) + (15 - x - y)x = 72 \\[6px] & \qquad \implies xy + 15y - xy - y^2 + 15x - x^2 - xy = 72 \\[6px] & \qquad \implies x^2 + xy + y^2 - 15x - 15y + 72 ..
Others/Olympiad  |  2017. 6. 21. 05:25
Problems and Solutions #029
Problem #029 $n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$이 완전제곱수가 되게 하는 모든 정수 $n$을 구하여라. 식을 간단히 하기 위하여, $f(n) := n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$로 정의하자. 또한 \begin{align*} a(n) &:= (2n^2 + n)^2 = 4n^2 + 4n^3 + n^2, \\ b(n) &:= (2n^2 + n + 1)^2 = 4n^4 + 4n^3 + 5n^2 + 2n + 1 \end{align*} 로 각각 정의하면, 간단한 계산을 통해 \[ 4f(n) - a(n) = 3n^2 + 4n + 4 = 2n^2 + (n+2)^2 > 0 \] 를 얻는다. 또한 $-1 < n < 3$인 경우, \[ b(n) - 4f(n) = n^2 - 2n - 3 = ..
Others/Olympiad  |  2017. 6. 7. 21:51
Problems and Solutions #028
Problem #028적당한 각 $\theta$에 대하여, 다음의 식이 성립한다고 가정하자. \[ \tan \theta + \sec \theta = 2017. \tag*{$(\ast)$} \] 이 때, $\cot \theta + \csc \theta$의 값을 구하여라. 먼저 식 $(\ast)$의 양변에 $\tan \theta - \sec \theta$를 곱해주면,\begin{align*} 2017(\tan \theta - \sec \theta) &= (\tan \theta + \sec \theta)(\tan \theta - \sec \theta) \\ &= \tan^2 \theta - \sec^2 \theta \\ &= -1 \end{align*}을 얻는다. 위 식을 정리하면,\[ \sec \theta ..
Others/High School Math  |  2017. 6. 6. 01:08
교란순열(derangement)에 대하여
이번 글에서는 아래와 같은 형태의 문제에 대해서 생각해 볼 것이다. 목욕탕에 $n$명의 사람이 있다고 하자. 이 때, 몇 사람씩 그룹을 만들어 동그랗게 서서 서로가 앞사람의 등을 밀어주는 경우의 수 $D_n$은 얼마인가? 단, 혼자서 자기 등을 밀 수는 없다. 예를 들어 1, 2, 3, 4 네 사람이 있는 경우를 생각해 보자. 말을 줄이기 위해 기호를 하나 정의한다. 예를 들어, (213)와 같이 표현하는 것은 이라는 것은 2는 1의 등을 밀고, 1는 3의 등을 밀고, 3은 2의 등일 밀어 주는 것을 의미한다고 하자. 그러면 1,2,3,4 네 명이서 서로 등을 밀어 주는 경우의 수는 다음과 같이 셀 수 있다. \[ (1234),\; (1243),\; (1324),\; (1342),\; (1423),\; ..
Others/High School Math  |  2017. 6. 3. 08:24
자연로그를 거듭제곱근을 포함한 식의 극한을 이용한 표현
이번에 설명할 공식은 영국의 천문학자이자 수학자 에드몬드 핼리(Edmond Halley)가 발견한 자연로그를 거듭제곱근을 포함한 식의 극한으로 표현하는 방법이다. 정리. 임의의 $x>0$에 대하여 다음이 성립한다.\[ \ln{x} = \lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{x}-1) \] 증명. 이 증명의 핵심은 거듭제곱근을 $e$의 거듭제곱의 형태로 나타낸 뒤, 지수함수의 급수전개를 이용하는 것이다. 즉, 다음을 얻는다.\begin{align*} n(\sqrt[n]{x}-1) &= n\left( e^{\frac{\ln{x}}{n}}-1 \right) \\ &= n\left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\ln{x}/n)^{k})}{k!} -1 \right) \\ &=..
Others/High School Math  |  2017. 5. 5. 02:29
Problems and Solutions #027
Problem #027 양의 정수 $n = a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{2017}$이 $0$이 아닌 수 $a_i \in \{ 1,\,2,\, \ldots,\, 9\}$로만 이루어진 $2017$ 자리의 수라고 하자. 이 때, $n$ 자체가 $2017$으로 나누어 떨어지거나, 또는 적당히 $a_i$를 $0$으로 바꾸어 얻은 수가 $2017$로 나누어 떨어지게 할 수 있음을 증명하여라. (단, 모든 $a_i$를 $0$으로 바꾸는 것은 금지한다.) 우선 $n_0 = 0$으로 정의하자. 또한 임의의 $k = 1,\,2,\, \ldots,\, 2017$에 대하여, $n_k$가 $n$에서 앞에서부터 $k$자리 이후의 모든 자리를 $0$으로 바꾸어 얻은 수라 하자. 즉, \[ n_k = a_{1}..
Others/Olympiad  |  2017. 5. 3. 21:55
2017에 대한 신기한 사실들
좀 늦은감이 있지만 올해는 $2011$년 이후 $6$년만에 찾아온 소수의 해이다. 역시나 구글링을 조금 해 보니 소수의 해를 맞이하여 $2017$에 대한 여러가지 신기한 사실들을 정리해 놓은 글을 발견할 수 있었다. 이 글의 원 출처는 여기에서 확인할 수 있다. 아래의 글은 원 출처의 글을 번역하고 거기에 약간의 주석을 덧붙힌 것이다. 또한 원 출처에 있던 사실 이외에 몇 가지 사실을 더 추가하였다. $2017$에 대한 신기한 사실들 $2017$은 소수이다. $\lfloor 2017\pi \rfloor = 6337$은 소수이다. $\lfloor 2017e \rfloor = 5483$는 소수이다. $2017$보다 작거나 같은 모든 홀수 소수들을 더하면 이 수는 소수이다. 즉, \[ 3 + 5 + 7 + 1..
Others/Articles  |  2017. 5. 3. 00:20
Problems and Solutions #025
Problem #025 임의의 실수 $a$에 대하여 $\lfloor a \rfloor$를 $a$보다 작거나 같은 가장 큰 정수, $\{a\}$를 $a$의 소수부분, 즉, $\{a\} = a - \lfloor a \rfloor$와 같이 정의하자. 예를 들어 $a = 2.3$이라면 $\lfloor a \rfloor = 2$, $\{a\} = 0.3$이고, $a = -1.4$인 경우 $\lfloor a \rfloor = -2$, $\{a\} = 0.6$을 얻는다.이 때, 아래의 연립방정식을 풀어라. \begin{align*} x + \lfloor y \rfloor + \{z\} &= 3.8 \\ y + \lfloor z \rfloor + \{x\} &= -1.7 \\ z + \lfloor x \rfloor +..
Others/Middle School Math  |  2017. 4. 19. 08:51
Problems and Solutions #024
Problem #024 (1) 아래 방정식을 만족하는 서로 다른 양의 정수쌍 $(a,\,b,\,c)$를 찾아라. \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \] (2) 아래 방정식을 만족하는 서로 다른 양의 정수쌍 $(a,\,b,\,c,\,d,\,e)$를 찾아라. \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} = 1 \] 양의 정수 $6$과 $28$은 완전수(perfect number)이다. 즉, 아래 등식이 성립한다. \[ \begin{align*} 6 &= 1 + 2 + 3 \\ 28 &= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \end{align*} \] 위 사실을 이용하면 간단히 다..
Others/Middle School Math  |  2017. 4. 1. 01:17
집합에 대한 대수적, 해석적, 위상적 구조 다이어그램
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Others/Visual Math  |  2017. 3. 24. 06:32

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