복면산(Cryptarithms) 문제 모음

복면산(Verbal arithmetic 또는 Cryptarithms)이란, 숫자를 문자로 치환하여 나타낸 수식으로부터 각 문자가 나타내는 원래의 숫자를 알아내어 전체식을 완성하는 문제이다. 숫자 대부분이 문자로 숨겨서 나타내므로 숫자가 “복면”을 쓰고 있는 연산이라는 뜻에서 복면산이라 이름 지어졌다. 복면산은 굉장히 오래된 수학 퍼즐의 한 예이고, 그 최초 제작자도 알려지지 않았지만, 듀드니(Henry E. Dudeney)가 1924년 7월에 발표한 다음의 문제가 복면산의 한 예로써 잘 알려져 있다. 

\[ \begin{matrix} & & \text{S} & \text{E} & \text{N} & \text{D} \\ + & & \text{M} & \text{O} & \text{R} & \text{E} \\ \hline & \text{M} & \text{O} & \text{N} & \text{E} & \text{Y} \\ \end{matrix} \]

복면산 문제는 특별한 언급이 없는 한, 같은 문자는 같은 숫자를 나타내고 서로 다른 문자는 서로 다른 문자를 나타내는 것으로 생각하며, 첫 번째 자리의 숫자는 0이 아니라고 가정하는 것이 보통이다. 또한, 대개의 경우 복면산 문제의 답은 유일해야 한다. 이 가정을 바탕으로 위의 문제를 풀어보면 다음과 같다.

1. 천의 자리의 숫자 두개를 더해 자리 올림을 하면 만의 자리 수는 $1$이 돼야 하므로 $\text{M}=1$이다. 또한 $\text{S} + 1$을 하여 자리 올림을 하기 위해서는 $\text{S}$는 $8$ 또는 $9$가 되어야 한다. 따라서, 셋째줄의 $\text{O}$는 $0$ 또는 $1$이 되어야 한다. 하지만 서로 다른 문자는 같은 숫자가 될 수 없으므로, $\text{O}=0$이다.

\[ \begin{matrix} & & \text{S} & \text{E} & \text{N} & \text{D} \\ + & & 1 & 0 & \text{R} & \text{E} \\ \hline & 1 & 0 & \text{N} & \text{E} & \text{Y} \\ \end{matrix} \]

2. 위에서 보았듯이 $\text{S}$는 $8$ 또는 $9$가 될 수 있다. 만약 $\text{S}=8$이라면 백의 자리의 덧셈부터 자리 올림을 한 것이 되고 백의자리의 $\text{E}=9$, $\text{N}=0$이 되어야 한다. 하지만 이는 $\text{O}$와 $\text{N}$이 같은 숫자가 되어 불가능하고, 따라서 $\text{S}=9$가 되어야만 한다. 따라서 백의 자리의 덧셈로으부터 $\text{E}+1=\text{N}$을 얻는다. 이제 십의 자리의 덧셈으로부터 ($\text{R} \neq 1$이기 때문에 $\text{N} + \text{R} = \text{E}$은 제외하고) $\text{N} + \text{R} = 10 + \text{E}$이거나 $\text{N} + \text{R} + 1 = 10 + \text{E}$가 된다. 이 식에 $\text{N} = \text{E}+1$을 대입하면 $\text{R}=9$ 또는 $\text{R}=8$이 된다. 그러나 $9$는 이미 사용했으므로, $\text{R}=8$일 수 밖에 없다.

\[ \begin{matrix} & & 9 & \text{E} & \text{N} & \text{D} \\ + & & 1 & 0 & 8 & \text{E} \\ \hline & 1 & 0 & \text{N} & \text{E} & \text{Y} \\ \end{matrix} \]

5. 위식의 일의 자리의 덧셈으로부터 $\text{D} + \text{E} = 10 + \text{Y}$이어야 한다. $0$, $1$, $8$, $9$는 이미 사용했으므로 $2$부터 $7$까지의 수로 $\text{D} + \text{E} = 10 + \text{Y} \geq 12$를 만족하는 $\text{D}$, $\text{E}$를 알아내야 한다. 하지만 주어진 주건에서 $5+7$, $6+7$ 이외에 두 수의 합이 $12$를 넘는 경우는 없다. 이 가운데 $\text{N} = \text{E} + 1$을 만족하는 수를 찾아보면 $\text{E}=5$, $\text{N}=6$, $\text{D}=7$, $\text{Y}=2$만이 가능함을 알 수 있다.

\[ \begin{matrix} & & 9 & 5 & 6 & 7 \\ + & & 1 & 0 & 8 & 5 \\ \hline & 1 & 0 & 6 & 5 & 2 \\ \end{matrix} \]

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Brain-Fun: http://www.brain-fun.com/Cryptic-Math-Puzzles/

My Cryptarithms: http://cryptarithms.awardspace.us/puzzles.html

Alphametic Puzzle Solver: http://www.trumancollins.net/truman/alphamet/alpha_solve.shtml

Alphametic Puzzle Generator: http://www.trumancollins.net/truman/alphamet/alpha_gen.shtml