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"원주율 π는 무리수이다."의 증명
2는 무리수이다. 오일러 상수 e는 무리수이다. 원주율 π는 무리수이다. 정리 원주율 π는 무리수(irrational)이다. 증명. 모순을 이끌어 내기 위해 원주율 π가 유리수(rational number)라고 가정해보자. 즉, 서로소인 두 정수 a,b가 존재하여 e=ab 라고 나타낼 수 있다고 가정해보자. 이제 임의의 자연수 n에 대하여 아래와 같은 함수를 정의한다.f(x)=xn(a−bx)nn!.그러면 함수의 정의에 의해 f(0)=0이고 \[ \begin{aligned} f(\pi-x) &= \frac{(\pi-x)^n(a-b(\pi-x))^n}{n!} = \frac{(\frac{a}{b..
Analysis/Calculus  |  2016. 5. 25. 05:54
"오일러 상수 e는 무리수이다."의 증명
2는 무리수이다. 오일러 상수 e는 무리수이다. 원주율 π는 무리수이다. 정리 오일러 상수 e는 무리수(irrational)이다. 증명. 먼저 e의 급수전개(series expansion)에 대해 살펴보자. Sn:=∑k=0∞1k!=1+1+12!+13!+⋯+1k!+⋯. 이 급수전개에 대한 n번 째 부분합(partial sum)을 아래와 같이 정의한다. \[ S_n := \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{..
Analysis/Calculus  |  2016. 5. 25. 05:47
"2는 무리수이다."의 증명
2는 무리수이다. 오일러 상수 e는 무리수이다. 원주율 π는 무리수이다. 정리 2는 무리수(irrational)이다. 증명. 일단 2가 유리수라고 가정해보자. 그러면 서로소인 정수 a,b가 존재하여 2=ab 로 나타낼 수 있다. 이제 이 식의 양변을 제곱하면, 2=a2b2이고 따라서 2b2=a2이 되어 a2이 짝수 임을 알 수 있다. 여기서 만약 a가 홀수라면 a2 또한 홀수가 되므로, a는 짝수여야만 한다. 이제 a=2c로 나타내 보자. 그러면, 2b2=a2=(2c)2=4c2이 되고 정리하면 b2=2c2을 얻는다..
Others/Middle School Math  |  2016. 5. 25. 05:42

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