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대합(involution)과 유사대합(quasi-involution)에 대하여
실함수 f:I⊂R→I가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 x∈I에 대하여 f(f(x))=xorf(x)=f−1(x) 가 성립하면, 함수 f를 대합(involution)이라 정의한다. 즉, 대합이란 자기 자신을 역함수로 가지는 함수를 뜻한다. 항등함수 i(x)=x는 자명하게 대합이다. 또한 임의의 실수 c∈R에 대하여, f(x)=c−x, g(x)=cx와 같이 정의된 함수들은 모두 대합임을 알 수 있다. \[ f(f(x)) = f(c-x) = c-(c-x) = x, \qquad g(g(x)) = g(\tfrac{c}{x}) = \frac{c}{\tfrac{c}..
Analysis/Real Analysis  |  2018. 12. 30. 00:11
3-주기점(period-3 point)은 혼돈(chaos)을 야기한다
닫힌 구간 I 위에서 연속인 함수 f:I→I에 대하여 다음을 정의하자. 정의 1. 정수 m≥1에 대하여, fm(a)=a이지만 모든 1≤i<m에 대하여 fi(a)≠a 을 만족하는 점 a∈I가 존재하면, a를 f의 m-주기점(period-m point)이라 한다. 특히 m=1인 경우, a를 f의 고정점(fixed point)이라 한다. 이제 주어진 두 정수 m≠n,에 대하여 f가 m-주기점을 가질 때, 언제나 n-주기점을 가지는지에 대한 질문에 대해 생각해 볼 수 있다. 예를 들어 m=1이고 n=2인 경우, 위 질문에 대한 대답은 '아니오'이다. 함수 f(x)=x를 생..
Analysis/Real Analysis  |  2017. 12. 18. 11:24

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