jjycjn's Math Storehouse

실함수 $f : I \subset \R \to I$가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 $x \in I$에 대하여 \[ f(f(x)) = x \quad \text{or} \quad f(x) = f^{-1}(x) \] 가 성립하면, 함수 $f$를 대합(involution)이라 정의한다. 즉, 대합이란 자기 자신을 역함수로 가지는 함수를 뜻한다. 항등함수 $i(x) = x$는 자명하게 대합이다. 또한 임의의 실수 $c \in \R$에 대하여, $f(x) = c-x$, $g(x) = \frac{c}{x}$와 같이 정의된 함수들은 모두 대합임을 알 수 있다. \[ f(f(x)) = f(c-x) = c-(c-x) = x, \qquad g(g(x)) = g(\tfrac{c}{x}) = \frac{c}{\tfrac{c}..

닫힌 구간 $I$ 위에서 연속인 함수 $f: I \to I$에 대하여 다음을 정의하자. 정의 1. 정수 $m \geq 1$에 대하여, $f^m(a) = a$이지만 모든 $1 \leq i < m$에 대하여 $f^i(a) \neq a$ 을 만족하는 점 $a \in I$가 존재하면, $a$를 $f$의 $m$-주기점(period-$m$ point)이라 한다. 특히 $m=1$인 경우, $a$를 $f$의 고정점(fixed point)이라 한다. 이제 주어진 두 정수 $m \neq n,$에 대하여 $f$가 $m$-주기점을 가질 때, 언제나 $n$-주기점을 가지는지에 대한 질문에 대해 생각해 볼 수 있다. 예를 들어 $m=1$이고 $n=2$인 경우, 위 질문에 대한 대답은 '아니오'이다. 함수 $f(x) = x$를 생..